---

Step * 1 2 1 of Lemma Riemann-sums-converge


1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : [a, b] ⟶ℝ
4. mc : f[x] continuous for x ∈ [a, b]
5. m : ℕ+
6. M : ℕ+
7. ((r1/r(M)) * |[a, b]|) ≤ (r1/r(m))
8. d : {d:ℝ| r0 < d} 
9. ∀p,q:{p:partition([a, b])| partition-mesh([a, b];p) ≤ d} . ∀x:partition-choice(full-partition([a, b];p)).
   ∀y:partition-choice(full-partition([a, b];q)).
     (|S(f;full-partition([a, b];q)) - S(f;full-partition([a, b];p))| ≤ ((r1/r(M)) * |[a, b]|))
10. k : ℕ+
11. (r1/r(k)) < d
⊢ ∃N:{ℕ| (∀k,m@0:ℕ.  ((N ≤ k) ⇒ (N ≤ m@0) ⇒ (|Riemann-sum(f;a;b;k + 1) - Riemann-sum(f;a;b;m@0 + 1)| ≤ (r1/r(m)))))}
BY
{ Assert ⌜∃N:ℕ+. ((|[a, b]|/r(N)) ≤ (r1/r(k)))⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : [a, b] ⟶ℝ
4. mc : f[x] continuous for x ∈ [a, b]
5. m : ℕ+
6. M : ℕ+
7. ((r1/r(M)) * |[a, b]|) ≤ (r1/r(m))
8. d : {d:ℝ| r0 < d} 
9. ∀p,q:{p:partition([a, b])| partition-mesh([a, b];p) ≤ d} . ∀x:partition-choice(full-partition([a, b];p)).
   ∀y:partition-choice(full-partition([a, b];q)).
     (|S(f;full-partition([a, b];q)) - S(f;full-partition([a, b];p))| ≤ ((r1/r(M)) * |[a, b]|))
10. k : ℕ+
11. (r1/r(k)) < d
⊢ ∃N:ℕ+. ((|[a, b]|/r(N)) ≤ (r1/r(k)))

2
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : [a, b] ⟶ℝ
4. mc : f[x] continuous for x ∈ [a, b]
5. m : ℕ+
6. M : ℕ+
7. ((r1/r(M)) * |[a, b]|) ≤ (r1/r(m))
8. d : {d:ℝ| r0 < d} 
9. ∀p,q:{p:partition([a, b])| partition-mesh([a, b];p) ≤ d} . ∀x:partition-choice(full-partition([a, b];p)).
   ∀y:partition-choice(full-partition([a, b];q)).
     (|S(f;full-partition([a, b];q)) - S(f;full-partition([a, b];p))| ≤ ((r1/r(M)) * |[a, b]|))
10. k : ℕ+
11. (r1/r(k)) < d
12. ∃N:ℕ+. ((|[a, b]|/r(N)) ≤ (r1/r(k)))
⊢ ∃N:{ℕ| (∀k,m@0:ℕ.  ((N ≤ k) ⇒ (N ≤ m@0) ⇒ (|Riemann-sum(f;a;b;k + 1) - Riemann-sum(f;a;b;m@0 + 1)| ≤ (r1/r(m)))))}

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  \mleq{}  b\} 
3.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  mc  :  f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  [a,  b]
5.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
6.  M  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  ((r1/r(M))  *  |[a,  b]|)  \mleq{}  (r1/r(m))
8.  d  :  \{d:\mBbbR{}|  r0  <  d\} 
9.  \mforall{}p,q:\{p:partition([a,  b])|  partition-mesh([a,  b];p)  \mleq{}  d\}  .
      \mforall{}x:partition-choice(full-partition([a,  b];p)).  \mforall{}y:partition-choice(full-partition([a,  b];q)).
          (|S(f;full-partition([a,  b];q))  -  S(f;full-partition([a,  b];p))|  \mleq{}  ((r1/r(M))  *  |[a,  b]|))
10.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
11.  (r1/r(k))  <  d
\mvdash{}  \mexists{}N:\{\mBbbN{}|  (\mforall{}k,m@0:\mBbbN{}.
                        ((N  \mleq{}  k)
                        {}\mRightarrow{}  (N  \mleq{}  m@0)
                        {}\mRightarrow{}  (|Riemann-sum(f;a;b;k  +  1)  -  Riemann-sum(f;a;b;m@0  +  1)|  \mleq{}  (r1/r(m)))))\}


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}\mexists{}N:\mBbbN{}\msupplus{}.  ((|[a,  b]|/r(N))  \mleq{}  (r1/r(k)))\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index