---

Step * 1 1 of Lemma Taylor-remainder-as-integral


1. I : Interval
2. iproper(I)
3. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
4. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
5. [rmin(a;b), rmax(a;b)] ⊆ I 
6. F : ℕ2 ⟶ I ⟶ℝ
7. ∀k:ℕ2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
8. finite-deriv-seq(I;1;i,x.F[i;x])
⊢ (F[0;b] - Σ{(F[k;a]/r((k)!)) * b - a^k | 0≤k≤0}) = a_∫-b (F[1;t]/r1) * r1 dt
BY
{ (RWO "rsum-single" 0 THENA Auto) }

1
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. a : ℝ
4. a ∈ I
5. b : ℝ
6. b ∈ I
7. [rmin(a;b), rmax(a;b)] ⊆ I 
8. F : ℕ2 ⟶ I ⟶ℝ
9. ∀k:ℕ2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((F k x) = (F k y)))
10. finite-deriv-seq(I;1;i,x.F i x)
11. x : {x:ℝ| x ∈ [rmin(a;b), rmax(a;b)]} 
12. y : {x:ℝ| x ∈ [rmin(a;b), rmax(a;b)]} 
13. x = y
⊢ ((F 1 x/r1) * r1) = ((F 1 y/r1) * r1)

2
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
4. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
5. [rmin(a;b), rmax(a;b)] ⊆ I 
6. F : ℕ2 ⟶ I ⟶ℝ
7. ∀k:ℕ2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
8. finite-deriv-seq(I;1;i,x.F[i;x])
⊢ ...EqCDByComb: failed to infer type of function domain... λt.((F[1;t]/r1) * r1) ∈ {f:[rmin(a;b), rmax(a;b)] ⟶ℝ| 
                                                                                     ifun(f;[rmin(a;b), rmax(a;b)])} 

3
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
4. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
5. [rmin(a;b), rmax(a;b)] ⊆ I 
6. F : ℕ2 ⟶ I ⟶ℝ
7. ∀k:ℕ2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
8. finite-deriv-seq(I;1;i,x.F[i;x])
⊢ (F[0;b] - (F[0;a]/r((0)!)) * b - a^0) = a_∫-b (F[1;t]/r1) * r1 dt

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  iproper(I)
3.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
4.  b  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
5.  [rmin(a;b),  rmax(a;b)]  \msubseteq{}  I 
6.  F  :  \mBbbN{}2  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
7.  \mforall{}k:\mBbbN{}2.  \mforall{}x,y:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (F[k;x]  =  F[k;y]))
8.  finite-deriv-seq(I;1;i,x.F[i;x])
\mvdash{}  (F[0;b]  -  \mSigma{}\{(F[k;a]/r((k)!))  *  b  -  a\^{}k  |  0\mleq{}k\mleq{}0\})  =  a\_\mint{}\msupminus{}b  (F[1;t]/r1)  *  r1  dt


By

---

Latex:
(RWO  "rsum-single"  0  THENA  Auto)

---

Home Index