---

Step * 1 1 3 of Lemma Taylor-remainder-as-integral


1. I : Interval
2. iproper(I)
3. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
4. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
5. [rmin(a;b), rmax(a;b)] ⊆ I 
6. F : ℕ2 ⟶ I ⟶ℝ
7. ∀k:ℕ2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
8. finite-deriv-seq(I;1;i,x.F[i;x])
⊢ (F[0;b] - (F[0;a]/r((0)!)) * b - a^0) = a_∫-b (F[1;t]/r1) * r1 dt
BY
{ (InstLemma `ftc-integral` [⌜I⌝;⌜a⌝;⌜b⌝;⌜λ2t.F[1;t]⌝;⌜λ2t.F[0;t]⌝]⋅
   THENA (Auto THEN Try ((MemTypeCD THEN Auto THEN Reduce 0 THEN Auto)) THEN (D -1 With ⌜0⌝  THEN Reduce -1) THEN Auto)
   ) }

1
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
4. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
5. [rmin(a;b), rmax(a;b)] ⊆ I 
6. F : ℕ2 ⟶ I ⟶ℝ
7. ∀k:ℕ2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
8. finite-deriv-seq(I;1;i,x.F[i;x])
9. a_∫-b F[1;t] dt = (F[0;b] - F[0;a])
⊢ (F[0;b] - (F[0;a]/r((0)!)) * b - a^0) = a_∫-b (F[1;t]/r1) * r1 dt

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  iproper(I)
3.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
4.  b  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
5.  [rmin(a;b),  rmax(a;b)]  \msubseteq{}  I 
6.  F  :  \mBbbN{}2  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
7.  \mforall{}k:\mBbbN{}2.  \mforall{}x,y:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (F[k;x]  =  F[k;y]))
8.  finite-deriv-seq(I;1;i,x.F[i;x])
\mvdash{}  (F[0;b]  -  (F[0;a]/r((0)!))  *  b  -  a\^{}0)  =  a\_\mint{}\msupminus{}b  (F[1;t]/r1)  *  r1  dt


By

---

Latex:
(InstLemma  `ftc-integral`  [\mkleeneopen{}I\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}t.F[1;t]\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}t.F[0;t]\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THENA  (Auto
                THEN  Try  ((MemTypeCD  THEN  Auto  THEN  Reduce  0  THEN  Auto))
                THEN  (D  -1  With  \mkleeneopen{}0\mkleeneclose{}    THEN  Reduce  -1)
                THEN  Auto)
  )

---

Home Index