---

Step * 2 1 1 1 of Lemma atan-approx-property


1. k : ℕ
2. x : ℝ
3. N : ℕ+
4. |x| ≤ (r1/r(2))
5. |x * x| ≤ (r1/r(4))
6. v : ℝ
7. Σ{(r(if (i rem 2 =z 0) then 1 else -1 fi ))/(2 * i) + 1 * x * x^i | 0≤i≤k} = v ∈ ℝ
8. u : ℤ
9. poly-approx(λi.(r(if (i rem 2 =z 0) then 1 else -1 fi ))/(2 * i) + 1;x * x;k;2 * N) = u ∈ ℤ
⊢ 1-approx(v;2 * N;u)
⇒ ((x * v) = arctan-poly(x;k))
⇒ 1-approx(arctan-poly(x;k);N;eval u = u in
                               eval b = |u| + 1 in
                               eval z = x b in
                                 (u * z) ÷ 4 * b)
BY
{ ((CallByValueReduce 0 THENA Auto)
   THEN (GenConcl ⌜(|u| + 1) = b ∈ ℕ+⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (CallByValueReduce 0 THENA Auto)
   THEN (InstLemma `ireal-approx-1` [⌜x⌝;⌜b⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN GenConcl ⌜(x b) = z ∈ ℤ⌝⋅
   THEN Auto
   THEN (CallByValueReduce 0 THENA Auto)) }

1
1. k : ℕ
2. x : ℝ
3. N : ℕ+
4. |x| ≤ (r1/r(2))
5. |x * x| ≤ (r1/r(4))
6. v : ℝ
7. Σ{(r(if (i rem 2 =z 0) then 1 else -1 fi ))/(2 * i) + 1 * x * x^i | 0≤i≤k} = v ∈ ℝ
8. u : ℤ
9. poly-approx(λi.(r(if (i rem 2 =z 0) then 1 else -1 fi ))/(2 * i) + 1;x * x;k;2 * N) = u ∈ ℤ
10. b : ℕ+
11. (|u| + 1) = b ∈ ℕ+
12. z : ℤ
13. (x b) = z ∈ ℤ
14. 1-approx(x;b;z)
15. 1-approx(v;2 * N;u)
16. (x * v) = arctan-poly(x;k)
⊢ 1-approx(arctan-poly(x;k);N;(u * z) ÷ 4 * b)

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  x  :  \mBbbR{}
3.  N  :  \mBbbN{}\msupplus{}
4.  |x|  \mleq{}  (r1/r(2))
5.  |x  *  x|  \mleq{}  (r1/r(4))
6.  v  :  \mBbbR{}
7.  \mSigma{}\{(r(if  (i  rem  2  =\msubz{}  0)  then  1  else  -1  fi  ))/(2  *  i)  +  1  *  x  *  x\^{}i  |  0\mleq{}i\mleq{}k\}  =  v
8.  u  :  \mBbbZ{}
9.  poly-approx(\mlambda{}i.(r(if  (i  rem  2  =\msubz{}  0)  then  1  else  -1  fi  ))/(2  *  i)  +  1;x  *  x;k;2  *  N)  =  u
\mvdash{}  1-approx(v;2  *  N;u)
{}\mRightarrow{}  ((x  *  v)  =  arctan-poly(x;k))
{}\mRightarrow{}  1-approx(arctan-poly(x;k);N;eval  u  =  u  in
                                                              eval  b  =  |u|  +  1  in
                                                              eval  z  =  x  b  in
                                                                  (u  *  z)  \mdiv{}  4  *  b)


By

---

Latex:
((CallByValueReduce  0  THENA  Auto)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}(|u|  +  1)  =  b\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (CallByValueReduce  0  THENA  Auto)
  THEN  (InstLemma  `ireal-approx-1`  [\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  GenConcl  \mkleeneopen{}(x  b)  =  z\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  (CallByValueReduce  0  THENA  Auto))

---

Home Index