---

Step * of Lemma derivative-log-contraction

∀a:{a:ℝ| r0 < a} . d(log-contraction(a;x))/dx = λx.(a - e^x/a + e^x)^2 on (-∞, ∞)
BY
{ (Assert ∀a:{a:ℝ| r0 < a} . d(log-contraction(a;x))/dx = λx.r1 - ((r(4) * a) * e^x/a + e^x^2) on (-∞, ∞) BY
         (Auto
          THEN (Assert ∀x:ℝ. (r0 < (a + e^x)) BY
                      (Auto THEN (RWO "rexp-positive<" 0 THENM nRNorm 0) THEN Auto))
          THEN (Assert a + e^x≠r0 for x ∈ (-∞, ∞) BY
                      (((D 0 THENA Auto) THEN D 0 With ⌜a⌝  THEN Auto)
                       THEN RWO "rabs-of-nonneg" 0
                       THEN Auto
                       THEN (RWO "rexp-positive<" 0 THENM nRNorm 0)
                       THEN Auto)))) }

1
1. a : {a:ℝ| r0 < a} 
2. ∀x:ℝ. (r0 < (a + e^x))
3. a + e^x≠r0 for x ∈ (-∞, ∞)
⊢ d(log-contraction(a;x))/dx = λx.r1 - ((r(4) * a) * e^x/a + e^x^2) on (-∞, ∞)

2
1. ∀a:{a:ℝ| r0 < a} . d(log-contraction(a;x))/dx = λx.r1 - ((r(4) * a) * e^x/a + e^x^2) on (-∞, ∞)
⊢ ∀a:{a:ℝ| r0 < a} . d(log-contraction(a;x))/dx = λx.(a - e^x/a + e^x)^2 on (-∞, ∞)

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}a:\{a:\mBbbR{}|  r0  <  a\}  .  d(log-contraction(a;x))/dx  =  \mlambda{}x.(a  -  e\^{}x/a  +  e\^{}x)\^{}2  on  (-\minfty{},  \minfty{})


By

---

Latex:
(Assert  \mforall{}a:\{a:\mBbbR{}|  r0  <  a\} 
                    d(log-contraction(a;x))/dx  =  \mlambda{}x.r1  -  ((r(4)  *  a)  *  e\^{}x/a  +  e\^{}x\^{}2)  on  (-\minfty{},  \minfty{})  BY
              (Auto
                THEN  (Assert  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (r0  <  (a  +  e\^{}x))  BY
                                        (Auto  THEN  (RWO  "rexp-positive<"  0  THENM  nRNorm  0)  THEN  Auto))
                THEN  (Assert  a  +  e\^{}x\mneq{}r0  for  x  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})  BY
                                        (((D  0  THENA  Auto)  THEN  D  0  With  \mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}    THEN  Auto)
                                          THEN  RWO  "rabs-of-nonneg"  0
                                          THEN  Auto
                                          THEN  (RWO  "rexp-positive<"  0  THENM  nRNorm  0)
                                          THEN  Auto))))

---

Home Index