---

Step * 1 of Lemma derivative-log-contraction


1. a : {a:ℝ| r0 < a} 
2. ∀x:ℝ. (r0 < (a + e^x))
3. a + e^x≠r0 for x ∈ (-∞, ∞)
⊢ d(log-contraction(a;x))/dx = λx.r1 - ((r(4) * a) * e^x/a + e^x^2) on (-∞, ∞)
BY
{ (Unfold `log-contraction` 0
   THEN (AssertDerivative THENL [ProveDerivative; DerivativeFunctionality (-1)])
   THEN Auto
   THEN Try (((OrRight THENM BLemma `rmul-is-positive`) THEN Auto))) }

1
1. a : {a:ℝ| r0 < a} 
2. ∀x:ℝ. (r0 < (a + e^x))
3. a + e^x≠r0 for x ∈ (-∞, ∞)
4. d(x + (r(2) * (a - e^x/a + e^x)))/dx = λx.r1
+ (r(2) * (((a + e^x) * (r0 - e^x)) - (a - e^x) * (r0 + e^x)/(a + e^x) * (a + e^x))) on (-∞, ∞)
5. x : {x:ℝ| x ∈ (-∞, ∞)} 
⊢ a + e^x^2 ≠ r0

2
1. a : {a:ℝ| r0 < a} 
2. ∀x:ℝ. (r0 < (a + e^x))
3. a + e^x≠r0 for x ∈ (-∞, ∞)
4. d(x + (r(2) * (a - e^x/a + e^x)))/dx = λx.r1
+ (r(2) * (((a + e^x) * (r0 - e^x)) - (a - e^x) * (r0 + e^x)/(a + e^x) * (a + e^x))) on (-∞, ∞)
5. x : {x:ℝ| x ∈ (-∞, ∞)} 
⊢ (r1 + (r(2) * (((a + e^x) * (r0 - e^x)) - (a - e^x) * (r0 + e^x)/(a + e^x) * (a + e^x))))
= (r1 - ((r(4) * a) * e^x/a + e^x^2))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  r0  <  a\} 
2.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (r0  <  (a  +  e\^{}x))
3.  a  +  e\^{}x\mneq{}r0  for  x  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})
\mvdash{}  d(log-contraction(a;x))/dx  =  \mlambda{}x.r1  -  ((r(4)  *  a)  *  e\^{}x/a  +  e\^{}x\^{}2)  on  (-\minfty{},  \minfty{})


By

---

Latex:
(Unfold  `log-contraction`  0
  THEN  (AssertDerivative  THENL  [ProveDerivative;  DerivativeFunctionality  (-1)])
  THEN  Auto
  THEN  Try  (((OrRight  THENM  BLemma  `rmul-is-positive`)  THEN  Auto)))

---

Home Index