---

Step * 1 2 of Lemma derivative-log-contraction


1. a : {a:ℝ| r0 < a} 
2. ∀x:ℝ. (r0 < (a + e^x))
3. a + e^x≠r0 for x ∈ (-∞, ∞)
4. d(x + (r(2) * (a - e^x/a + e^x)))/dx = λx.r1
+ (r(2) * (((a + e^x) * (r0 - e^x)) - (a - e^x) * (r0 + e^x)/(a + e^x) * (a + e^x))) on (-∞, ∞)
5. x : {x:ℝ| x ∈ (-∞, ∞)} 
⊢ (r1 + (r(2) * (((a + e^x) * (r0 - e^x)) - (a - e^x) * (r0 + e^x)/(a + e^x) * (a + e^x))))
= (r1 - ((r(4) * a) * e^x/a + e^x^2))
BY
{ ((Assert r0 < a + e^x^2 BY
          ((RWO  "rnexp2" 0 THENA Auto) THEN BLemma `rmul-is-positive` THEN Auto))
   THEN (Assert r0 < ((a + e^x) * (a + e^x)) BY
               (BLemma `rmul-is-positive` THEN Auto))
   THEN (Assert ((a + e^x) * (a + e^x)) = a + e^x^2 BY
               (RWO  "rnexp2" 0 THEN Auto))) }

1
1. a : {a:ℝ| r0 < a} 
2. ∀x:ℝ. (r0 < (a + e^x))
3. a + e^x≠r0 for x ∈ (-∞, ∞)
4. d(x + (r(2) * (a - e^x/a + e^x)))/dx = λx.r1
+ (r(2) * (((a + e^x) * (r0 - e^x)) - (a - e^x) * (r0 + e^x)/(a + e^x) * (a + e^x))) on (-∞, ∞)
5. x : {x:ℝ| x ∈ (-∞, ∞)} 
6. r0 < a + e^x^2
7. r0 < ((a + e^x) * (a + e^x))
8. ((a + e^x) * (a + e^x)) = a + e^x^2
⊢ (r1 + (r(2) * (((a + e^x) * (r0 - e^x)) - (a - e^x) * (r0 + e^x)/(a + e^x) * (a + e^x))))
= (r1 - ((r(4) * a) * e^x/a + e^x^2))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  r0  <  a\} 
2.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (r0  <  (a  +  e\^{}x))
3.  a  +  e\^{}x\mneq{}r0  for  x  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})
4.  d(x  +  (r(2)  *  (a  -  e\^{}x/a  +  e\^{}x)))/dx  =  \mlambda{}x.r1
+  (r(2)  *  (((a  +  e\^{}x)  *  (r0  -  e\^{}x))  -  (a  -  e\^{}x)  *  (r0  +  e\^{}x)/(a  +  e\^{}x)  *  (a  +  e\^{}x)))  on  (-\minfty{},  \minfty{})
5.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})\} 
\mvdash{}  (r1  +  (r(2)  *  (((a  +  e\^{}x)  *  (r0  -  e\^{}x))  -  (a  -  e\^{}x)  *  (r0  +  e\^{}x)/(a  +  e\^{}x)  *  (a  +  e\^{}x))))
=  (r1  -  ((r(4)  *  a)  *  e\^{}x/a  +  e\^{}x\^{}2))


By

---

Latex:
((Assert  r0  <  a  +  e\^{}x\^{}2  BY
                ((RWO    "rnexp2"  0  THENA  Auto)  THEN  BLemma  `rmul-is-positive`  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  r0  <  ((a  +  e\^{}x)  *  (a  +  e\^{}x))  BY
                          (BLemma  `rmul-is-positive`  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  ((a  +  e\^{}x)  *  (a  +  e\^{}x))  =  a  +  e\^{}x\^{}2  BY
                          (RWO    "rnexp2"  0  THEN  Auto)))

---

Home Index