---

Step * 1 3 1 1 of Lemma derivative-rsqrt-function

.....antecedent..... 
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (r0 < f[x])
6. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
7. ∀a:{a:ℝ| a ∈ I} . ∀b:{b:ℝ| (b ∈ I) ∧ (a ≤ b)} .  ∃c:{t:ℝ| t ∈ [a, b]} . ∀x:{t:ℝ| t ∈ [a, b]} . (f[c] ≤ f[x])
8. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
9. x : {t:ℝ| t ∈ I} 
10. y : {t:ℝ| t ∈ I} 
11. x = y
⊢ f[x] continuous for x ∈ I
BY
{ (FLemma `differentiable-continuous` [-4] THEN EAuto 1) }

---

Latex:

---

Latex:
.....antecedent..... 
1.  I  :  Interval
2.  iproper(I)
3.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  f'  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .  (r0  <  f[x])
6.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f'[x]  =  f'[y]))
7.  \mforall{}a:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .  \mforall{}b:\{b:\mBbbR{}|  (b  \mmember{}  I)  \mwedge{}  (a  \mleq{}  b)\}  .
          \mexists{}c:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  [a,  b]\}  .  \mforall{}x:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  [a,  b]\}  .  (f[c]  \mleq{}  f[x])
8.  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  I
9.  x  :  \{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  I\} 
10.  y  :  \{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  I\} 
11.  x  =  y
\mvdash{}  f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  I


By

---

Latex:
(FLemma  `differentiable-continuous`  [-4]  THEN  EAuto  1)

---

Home Index