---

Step * 1 of Lemma derivative-rsqrt-function


1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (r0 < f[x])
6. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
7. ∀a:{a:ℝ| a ∈ I} . ∀b:{b:ℝ| (b ∈ I) ∧ (a ≤ b)} .  ∃c:{t:ℝ| t ∈ [a, b]} . ∀x:{t:ℝ| t ∈ [a, b]} . (f[c] ≤ f[x])
8. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
⊢ d(rsqrt(f[x]))/dx = λx.(f'[x]/r(2) * rsqrt(f[x])) on I
BY
{ (InstLemma `chain-rule` [⌜I⌝;⌜(r0, ∞)⌝;⌜f⌝;⌜f'⌝;⌜λ2x.rsqrt(x)⌝;⌜λ2x.(r1/r(2) * rsqrt(x))⌝]⋅
   THENA Try (Complete (Auto))
   ) }

1
.....wf..... 
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (r0 < f[x])
6. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
7. ∀a:{a:ℝ| a ∈ I} . ∀b:{b:ℝ| (b ∈ I) ∧ (a ≤ b)} .  ∃c:{t:ℝ| t ∈ [a, b]} . ∀x:{t:ℝ| t ∈ [a, b]} . (f[c] ≤ f[x])
8. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
⊢ λx.rsqrt(x) ∈ (r0, ∞) ⟶ℝ

2
.....wf..... 
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (r0 < f[x])
6. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
7. ∀a:{a:ℝ| a ∈ I} . ∀b:{b:ℝ| (b ∈ I) ∧ (a ≤ b)} .  ∃c:{t:ℝ| t ∈ [a, b]} . ∀x:{t:ℝ| t ∈ [a, b]} . (f[c] ≤ f[x])
8. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
⊢ λx.(r1/r(2) * rsqrt(x)) ∈ (r0, ∞) ⟶ℝ

3
.....antecedent..... 
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (r0 < f[x])
6. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
7. ∀a:{a:ℝ| a ∈ I} . ∀b:{b:ℝ| (b ∈ I) ∧ (a ≤ b)} .  ∃c:{t:ℝ| t ∈ [a, b]} . ∀x:{t:ℝ| t ∈ [a, b]} . (f[c] ≤ f[x])
8. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
⊢ maps-compact(I;(r0, ∞);x.f[x])

4
.....antecedent..... 
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (r0 < f[x])
6. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
7. ∀a:{a:ℝ| a ∈ I} . ∀b:{b:ℝ| (b ∈ I) ∧ (a ≤ b)} .  ∃c:{t:ℝ| t ∈ [a, b]} . ∀x:{t:ℝ| t ∈ [a, b]} . (f[c] ≤ f[x])
8. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
⊢ ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ (r0, ∞)} .  ((x = y) ⇒ ((r1/r(2) * rsqrt(x)) = (r1/r(2) * rsqrt(y))))

5
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (r0 < f[x])
6. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
7. ∀a:{a:ℝ| a ∈ I} . ∀b:{b:ℝ| (b ∈ I) ∧ (a ≤ b)} .  ∃c:{t:ℝ| t ∈ [a, b]} . ∀x:{t:ℝ| t ∈ [a, b]} . (f[c] ≤ f[x])
8. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
9. d(rsqrt(f[x]))/dx = λx.(r1/r(2) * rsqrt(f[x])) * f'[x] on I
⊢ d(rsqrt(f[x]))/dx = λx.(f'[x]/r(2) * rsqrt(f[x])) on I

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  iproper(I)
3.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  f'  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .  (r0  <  f[x])
6.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f'[x]  =  f'[y]))
7.  \mforall{}a:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .  \mforall{}b:\{b:\mBbbR{}|  (b  \mmember{}  I)  \mwedge{}  (a  \mleq{}  b)\}  .
          \mexists{}c:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  [a,  b]\}  .  \mforall{}x:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  [a,  b]\}  .  (f[c]  \mleq{}  f[x])
8.  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  I
\mvdash{}  d(rsqrt(f[x]))/dx  =  \mlambda{}x.(f'[x]/r(2)  *  rsqrt(f[x]))  on  I


By

---

Latex:
(InstLemma  `chain-rule`  [\mkleeneopen{}I\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}(r0,  \minfty{})\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f'\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.rsqrt(x)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.(r1/r(2)  *  rsqrt(x))\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THENA  Try  (Complete  (Auto))
  )

---

Home Index