---

Step * 1 4 1 of Lemma derivative-rsqrt-function


1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (r0 < f[x])
6. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
7. ∀a:{a:ℝ| a ∈ I} . ∀b:{b:ℝ| (b ∈ I) ∧ (a ≤ b)} .  ∃c:{t:ℝ| t ∈ [a, b]} . ∀x:{t:ℝ| t ∈ [a, b]} . (f[c] ≤ f[x])
8. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
9. x : {x:ℝ| x ∈ (r0, ∞)} 
10. y : {x:ℝ| x ∈ (r0, ∞)} 
11. x = y
⊢ (r1/r(2) * rsqrt(x)) = (r1/r(2) * rsqrt(y))
BY
{ (All Reduce
   THEN ((Assert r0 < x BY
                Auto)
         THEN (Assert r0 < (r(2) * rsqrt(x)) BY
                     ((Assert r0 < rsqrt(x) BY Auto) THEN BLemma `rmul-is-positive` THEN Auto))
         )
   THEN (Assert r0 < y BY
               Auto)
   THEN (Assert r0 < (r(2) * rsqrt(y)) BY
               ((Assert r0 < rsqrt(y) BY Auto) THEN BLemma `rmul-is-positive` THEN Auto))) }

1
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. f' : I ⟶ℝ
5. ∀x:{x:ℝ| x ∈ I} . (r0 < f[x])
6. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
7. ∀a:{a:ℝ| a ∈ I} . ∀b:{b:ℝ| (b ∈ I) ∧ (a ≤ b)} .
     ∃c:{t:ℝ| (a ≤ t) ∧ (t ≤ b)} . ∀x:{t:ℝ| (a ≤ t) ∧ (t ≤ b)} . (f[c] ≤ f[x])
8. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
9. x : {x:ℝ| r0 < x} 
10. y : {x:ℝ| r0 < x} 
11. x = y
12. r0 < x
13. r0 < (r(2) * rsqrt(x))
14. r0 < y
15. r0 < (r(2) * rsqrt(y))
⊢ (r1/r(2) * rsqrt(x)) = (r1/r(2) * rsqrt(y))

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  iproper(I)
3.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  f'  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .  (r0  <  f[x])
6.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f'[x]  =  f'[y]))
7.  \mforall{}a:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .  \mforall{}b:\{b:\mBbbR{}|  (b  \mmember{}  I)  \mwedge{}  (a  \mleq{}  b)\}  .
          \mexists{}c:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  [a,  b]\}  .  \mforall{}x:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  [a,  b]\}  .  (f[c]  \mleq{}  f[x])
8.  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  I
9.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  (r0,  \minfty{})\} 
10.  y  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  (r0,  \minfty{})\} 
11.  x  =  y
\mvdash{}  (r1/r(2)  *  rsqrt(x))  =  (r1/r(2)  *  rsqrt(y))


By

---

Latex:
(All  Reduce
  THEN  ((Assert  r0  <  x  BY
                            Auto)
              THEN  (Assert  r0  <  (r(2)  *  rsqrt(x))  BY
                                      ((Assert  r0  <  rsqrt(x)  BY  Auto)  THEN  BLemma  `rmul-is-positive`  THEN  Auto))
              )
  THEN  (Assert  r0  <  y  BY
                          Auto)
  THEN  (Assert  r0  <  (r(2)  *  rsqrt(y))  BY
                          ((Assert  r0  <  rsqrt(y)  BY  Auto)  THEN  BLemma  `rmul-is-positive`  THEN  Auto)))

---

Home Index