---

Step * 1 1 1 of Lemma ftc-integral


1. I : Interval
2. iproper(I)
3. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
4. ∀f:{f:I ⟶ℝ| ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))} . ∀g:I ⟶ℝ.
     (d(g[x])/dx = λx.f[x] on I ⇒ (∃c:ℝ. ∀x:{a:ℝ| a ∈ I} . (a_∫-x f[t] dt = (g[x] + c))))
5. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
6. f : {f:I ⟶ℝ| ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))} 
7. g : I ⟶ℝ
8. d(g[x])/dx = λx.f[x] on I
9. c : ℝ
10. ∀x:{a:ℝ| a ∈ I} . (a_∫-x f[t] dt = (g[x] + c))
11. ∀a,b:{a:ℝ| a ∈ I} .  (a_∫-b f[t] dt ∈ ℝ)
12. a_∫-a f[t] dt = (g[a] + c)
13. a_∫-b f[t] dt = (g[b] + c)
⊢ a_∫-b f[t] dt = (g[b] - g[a])
BY
{ ((RWO "-1" 0 THENA (Try (BackThruSomeHyp) THEN Auto)) THEN (nRAdd ⌜g[a] - g[b]⌝ 0⋅ THENA Auto)) }

1
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
4. ∀f:{f:I ⟶ℝ| ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))} . ∀g:I ⟶ℝ.
     (d(g[x])/dx = λx.f[x] on I ⇒ (∃c:ℝ. ∀x:{a:ℝ| a ∈ I} . (a_∫-x f[t] dt = (g[x] + c))))
5. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
6. f : {f:I ⟶ℝ| ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))} 
7. g : I ⟶ℝ
8. d(g[x])/dx = λx.f[x] on I
9. c : ℝ
10. ∀x:{a:ℝ| a ∈ I} . (a_∫-x f[t] dt = (g[x] + c))
11. ∀a,b:{a:ℝ| a ∈ I} .  (a_∫-b f[t] dt ∈ ℝ)
12. a_∫-a f[t] dt = (g[a] + c)
13. a_∫-b f[t] dt = (g[b] + c)
⊢ (g[a] + c) = r0

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  iproper(I)
3.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
4.  \mforall{}f:\{f:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  \mforall{}x,y:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  =  (f  y)))\}  .  \mforall{}g:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}.
          (d(g[x])/dx  =  \mlambda{}x.f[x]  on  I  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}c:\mBbbR{}.  \mforall{}x:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .  (a\_\mint{}\msupminus{}x  f[t]  dt  =  (g[x]  +  c))))
5.  b  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
6.  f  :  \{f:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  \mforall{}x,y:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  =  (f  y)))\} 
7.  g  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
8.  d(g[x])/dx  =  \mlambda{}x.f[x]  on  I
9.  c  :  \mBbbR{}
10.  \mforall{}x:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .  (a\_\mint{}\msupminus{}x  f[t]  dt  =  (g[x]  +  c))
11.  \mforall{}a,b:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .    (a\_\mint{}\msupminus{}b  f[t]  dt  \mmember{}  \mBbbR{})
12.  a\_\mint{}\msupminus{}a  f[t]  dt  =  (g[a]  +  c)
13.  a\_\mint{}\msupminus{}b  f[t]  dt  =  (g[b]  +  c)
\mvdash{}  a\_\mint{}\msupminus{}b  f[t]  dt  =  (g[b]  -  g[a])


By

---

Latex:
((RWO  "-1"  0  THENA  (Try  (BackThruSomeHyp)  THEN  Auto))  THEN  (nRAdd  \mkleeneopen{}g[a]  -  g[b]\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index