---

Step * 1 1 1 1 of Lemma full-arcsin_wf


1. a : ℝ
2. a ∈ [r(-1), r1]
3. (r(73)/r(100)) < |a|
4. r0 ≤ (r1 - a * a)
5. rsqrt(r1 - a * a)^2 < (r(3)/r(4))^2
6. rsqrt(r1 - a * a) < (r(3)/r(4))
7. r0 ≤ rsqrt(r1 - a * a)
8. (r(-3)/r(4)) < r0
9. (r(3)/r(4)) ≤ r1
10. r(-1) < r0
11. arcsine(rsqrt(r1 - a * a)) ∈ (-(π/2), π/2)
12. 2 * MachinPi4() = π/2
⊢ case rless-case(r0;(r1)/2;10;a)
   of inl(u) =>
   2 * MachinPi4() - partial-arcsin(rsqrt(r1 - a * a))
   | inr(v) =>
   partial-arcsin(rsqrt(r1 - a * a)) - 2 * MachinPi4() ∈ {x:ℝ| ((-(π/2) ≤ x) ∧ (x ≤ π/2)) ∧ (rsin(x) = a)} 
BY
{ ((InstLemma `arcsine-nonneg` [⌜rsqrt(r1 - a * a)⌝]⋅ THENA (MemTypeCD THEN Reduce 0 THEN Auto))
   THEN (GenConclTerm ⌜partial-arcsin(rsqrt(r1 - a * a))⌝⋅ THENA ((MemCD THEN MemTypeCD) THEN Auto))
   THEN Thin (-1)
   THEN D -1
   THEN (Assert arcsine(rsqrt(r1 - a * a)) ∈ ℝ BY
               (MemCD THEN MemTypeCD THEN Reduce 0 THEN Auto))
   THEN (Assert v ∈ [r0, π/2) BY
               ((RWO "-2" 0 THENA Auto) THEN All Reduce THEN Auto))) }

1
1. a : ℝ
2. a ∈ [r(-1), r1]
3. (r(73)/r(100)) < |a|
4. r0 ≤ (r1 - a * a)
5. rsqrt(r1 - a * a)^2 < (r(3)/r(4))^2
6. rsqrt(r1 - a * a) < (r(3)/r(4))
7. r0 ≤ rsqrt(r1 - a * a)
8. (r(-3)/r(4)) < r0
9. (r(3)/r(4)) ≤ r1
10. r(-1) < r0
11. arcsine(rsqrt(r1 - a * a)) ∈ (-(π/2), π/2)
12. 2 * MachinPi4() = π/2
13. r0 ≤ arcsine(rsqrt(r1 - a * a))
14. v : ℝ
15. v = arcsine(rsqrt(r1 - a * a))
16. arcsine(rsqrt(r1 - a * a)) ∈ ℝ
17. v ∈ [r0, π/2)
⊢ case rless-case(r0;(r1)/2;10;a) of inl(u) => 2 * MachinPi4() - v | inr(v@0) => v - 2 * MachinPi4() ∈ {x:ℝ| 
                                                                                                        ((-(π/2) ≤ x)
                                                                                                        ∧ (x ≤ π/2))
                                                                                                        ∧ (rsin(x)
                                                                                                          = a)} 

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  a  \mmember{}  [r(-1),  r1]
3.  (r(73)/r(100))  <  |a|
4.  r0  \mleq{}  (r1  -  a  *  a)
5.  rsqrt(r1  -  a  *  a)\^{}2  <  (r(3)/r(4))\^{}2
6.  rsqrt(r1  -  a  *  a)  <  (r(3)/r(4))
7.  r0  \mleq{}  rsqrt(r1  -  a  *  a)
8.  (r(-3)/r(4))  <  r0
9.  (r(3)/r(4))  \mleq{}  r1
10.  r(-1)  <  r0
11.  arcsine(rsqrt(r1  -  a  *  a))  \mmember{}  (-(\mpi{}/2),  \mpi{}/2)
12.  2  *  MachinPi4()  =  \mpi{}/2
\mvdash{}  case  rless-case(r0;(r1)/2;10;a)
      of  inl(u)  =>
      2  *  MachinPi4()  -  partial-arcsin(rsqrt(r1  -  a  *  a))
      |  inr(v)  =>
      partial-arcsin(rsqrt(r1  -  a  *  a))  -  2  *  MachinPi4()  \mmember{}  \{x:\mBbbR{}| 
                                                                                                                    ((-(\mpi{}/2)  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  \mpi{}/2))
                                                                                                                    \mwedge{}  (rsin(x)  =  a)\} 


By

---

Latex:
((InstLemma  `arcsine-nonneg`  [\mkleeneopen{}rsqrt(r1  -  a  *  a)\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  (MemTypeCD  THEN  Reduce  0  THEN  Auto))
  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}partial-arcsin(rsqrt(r1  -  a  *  a))\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  ((MemCD  THEN  MemTypeCD)  THEN  Auto))
  THEN  Thin  (-1)
  THEN  D  -1
  THEN  (Assert  arcsine(rsqrt(r1  -  a  *  a))  \mmember{}  \mBbbR{}  BY
                          (MemCD  THEN  MemTypeCD  THEN  Reduce  0  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  v  \mmember{}  [r0,  \mpi{}/2)  BY
                          ((RWO  "-2"  0  THENA  Auto)  THEN  All  Reduce  THEN  Auto)))

---

Home Index