---

Step * 1 1 1 1 1 of Lemma full-arcsin_wf


1. a : ℝ
2. a ∈ [r(-1), r1]
3. (r(73)/r(100)) < |a|
4. r0 ≤ (r1 - a * a)
5. rsqrt(r1 - a * a)^2 < (r(3)/r(4))^2
6. rsqrt(r1 - a * a) < (r(3)/r(4))
7. r0 ≤ rsqrt(r1 - a * a)
8. (r(-3)/r(4)) < r0
9. (r(3)/r(4)) ≤ r1
10. r(-1) < r0
11. arcsine(rsqrt(r1 - a * a)) ∈ (-(π/2), π/2)
12. 2 * MachinPi4() = π/2
13. r0 ≤ arcsine(rsqrt(r1 - a * a))
14. v : ℝ
15. v = arcsine(rsqrt(r1 - a * a))
16. arcsine(rsqrt(r1 - a * a)) ∈ ℝ
17. v ∈ [r0, π/2)
⊢ case rless-case(r0;(r1)/2;10;a) of inl(u) => 2 * MachinPi4() - v | inr(v@0) => v - 2 * MachinPi4() ∈ {x:ℝ| 
                                                                                                        ((-(π/2) ≤ x)
                                                                                                        ∧ (x ≤ π/2))
                                                                                                        ∧ (rsin(x)
                                                                                                          = a)} 
BY
{ ((Assert -(π/2) < r0 BY
          (nRAdd ⌜π/2⌝ 0⋅ THEN Auto))
   THEN (Assert 2 * MachinPi4() - v ∈ (r0, π/2] BY
               ((RWO "-7" 0 THENA Auto) THEN All Reduce THEN Auto))
   THEN (Assert v - 2 * MachinPi4() ∈ [-(π/2), r0) BY
               ((RWO "-8" 0 THENA Auto) THEN All Reduce THEN Auto))) }

1
1. a : ℝ
2. a ∈ [r(-1), r1]
3. (r(73)/r(100)) < |a|
4. r0 ≤ (r1 - a * a)
5. rsqrt(r1 - a * a)^2 < (r(3)/r(4))^2
6. rsqrt(r1 - a * a) < (r(3)/r(4))
7. r0 ≤ rsqrt(r1 - a * a)
8. (r(-3)/r(4)) < r0
9. (r(3)/r(4)) ≤ r1
10. r(-1) < r0
11. arcsine(rsqrt(r1 - a * a)) ∈ (-(π/2), π/2)
12. 2 * MachinPi4() = π/2
13. r0 ≤ arcsine(rsqrt(r1 - a * a))
14. v : ℝ
15. v = arcsine(rsqrt(r1 - a * a))
16. arcsine(rsqrt(r1 - a * a)) ∈ ℝ
17. v ∈ [r0, π/2)
18. -(π/2) < r0
19. 2 * MachinPi4() - v ∈ (r0, π/2]
20. v - 2 * MachinPi4() ∈ [-(π/2), r0)
⊢ case rless-case(r0;(r1)/2;10;a) of inl(u) => 2 * MachinPi4() - v | inr(v@0) => v - 2 * MachinPi4() ∈ {x:ℝ| 
                                                                                                        ((-(π/2) ≤ x)
                                                                                                        ∧ (x ≤ π/2))
                                                                                                        ∧ (rsin(x)
                                                                                                          = a)} 

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  a  \mmember{}  [r(-1),  r1]
3.  (r(73)/r(100))  <  |a|
4.  r0  \mleq{}  (r1  -  a  *  a)
5.  rsqrt(r1  -  a  *  a)\^{}2  <  (r(3)/r(4))\^{}2
6.  rsqrt(r1  -  a  *  a)  <  (r(3)/r(4))
7.  r0  \mleq{}  rsqrt(r1  -  a  *  a)
8.  (r(-3)/r(4))  <  r0
9.  (r(3)/r(4))  \mleq{}  r1
10.  r(-1)  <  r0
11.  arcsine(rsqrt(r1  -  a  *  a))  \mmember{}  (-(\mpi{}/2),  \mpi{}/2)
12.  2  *  MachinPi4()  =  \mpi{}/2
13.  r0  \mleq{}  arcsine(rsqrt(r1  -  a  *  a))
14.  v  :  \mBbbR{}
15.  v  =  arcsine(rsqrt(r1  -  a  *  a))
16.  arcsine(rsqrt(r1  -  a  *  a))  \mmember{}  \mBbbR{}
17.  v  \mmember{}  [r0,  \mpi{}/2)
\mvdash{}  case  rless-case(r0;(r1)/2;10;a)  of  inl(u)  =>  2  *  MachinPi4()  -  v  |  inr(v@0)  =>  v  -  2  *  MachinPi4()
    \mmember{}  \{x:\mBbbR{}|  ((-(\mpi{}/2)  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  \mpi{}/2))  \mwedge{}  (rsin(x)  =  a)\} 


By

---

Latex:
((Assert  -(\mpi{}/2)  <  r0  BY
                (nRAdd  \mkleeneopen{}\mpi{}/2\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  2  *  MachinPi4()  -  v  \mmember{}  (r0,  \mpi{}/2]  BY
                          ((RWO  "-7"  0  THENA  Auto)  THEN  All  Reduce  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  v  -  2  *  MachinPi4()  \mmember{}  [-(\mpi{}/2),  r0)  BY
                          ((RWO  "-8"  0  THENA  Auto)  THEN  All  Reduce  THEN  Auto)))

---

Home Index