---

Step * 2 1 1 of Lemma fun-converges-to-integral


1. I : Interval
2. f : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
3. F : I ⟶ℝ
4. ∀m:{m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} . ∀k:ℕ+.
     ∃N:ℕ+. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m)} . ∀n:{N...}.  (|f[n;x] - F[x]| ≤ (r1/r(k)))
5. ∀n:ℕ. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f[n;x] = f[n;y]))
6. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
7. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[x] = F[y]))
8. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} 
9. k : ℕ+
10. ∃m2:ℕ+. (i-approx(I;m) ⊆ i-approx(I;m2)  ∧ (a ∈ i-approx(I;m2)))
⊢ ∃N:ℕ+. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m)} . ∀n:{N...}.  (|a_∫-x f[n;t] dt - a_∫-x F[t] dt| ≤ (r1/r(k)))
BY
{ (ExRepD
   THEN (Assert icompact(i-approx(I;m2)) BY
               ((D 0 THEN Auto) THEN D 0 With ⌜a⌝  THEN Auto))
   THEN (D 4 With ⌜m2⌝  THENA Auto)) }

1
1. I : Interval
2. f : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
3. F : I ⟶ℝ
4. ∀n:ℕ. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f[n;x] = f[n;y]))
5. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
6. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[x] = F[y]))
7. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} 
8. k : ℕ+
9. m2 : ℕ+
10. i-approx(I;m) ⊆ i-approx(I;m2) 
11. a ∈ i-approx(I;m2)
12. icompact(i-approx(I;m2))
13. ∀k:ℕ+. ∃N:ℕ+. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m2)} . ∀n:{N...}.  (|f[n;x] - F[x]| ≤ (r1/r(k)))
⊢ ∃N:ℕ+. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m)} . ∀n:{N...}.  (|a_∫-x f[n;t] dt - a_∫-x F[t] dt| ≤ (r1/r(k)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  F  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  \mforall{}m:\{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(I;m))\}  .  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.
          \mexists{}N:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx(I;m)\}  .  \mforall{}n:\{N...\}.    (|f[n;x]  -  F[x]|  \mleq{}  (r1/r(k)))
5.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}x,y:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f[n;x]  =  f[n;y]))
6.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
7.  \mforall{}x,y:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (F[x]  =  F[y]))
8.  m  :  \{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(I;m))\} 
9.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
10.  \mexists{}m2:\mBbbN{}\msupplus{}.  (i-approx(I;m)  \msubseteq{}  i-approx(I;m2)    \mwedge{}  (a  \mmember{}  i-approx(I;m2)))
\mvdash{}  \mexists{}N:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx(I;m)\}  .  \mforall{}n:\{N...\}.    (|a\_\mint{}\msupminus{}x  f[n;t]  dt  -  a\_\mint{}\msupminus{}x  F[t]  dt|  \mleq{}  (r1/r(k)))


By

---

Latex:
(ExRepD
  THEN  (Assert  icompact(i-approx(I;m2))  BY
                          ((D  0  THEN  Auto)  THEN  D  0  With  \mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}    THEN  Auto))
  THEN  (D  4  With  \mkleeneopen{}m2\mkleeneclose{}    THENA  Auto))

---

Home Index