---

Step * 2 1 1 1 of Lemma fun-converges-to-integral


1. I : Interval
2. f : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
3. F : I ⟶ℝ
4. ∀n:ℕ. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f[n;x] = f[n;y]))
5. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
6. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[x] = F[y]))
7. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} 
8. k : ℕ+
9. m2 : ℕ+
10. i-approx(I;m) ⊆ i-approx(I;m2) 
11. a ∈ i-approx(I;m2)
12. icompact(i-approx(I;m2))
13. ∀k:ℕ+. ∃N:ℕ+. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m2)} . ∀n:{N...}.  (|f[n;x] - F[x]| ≤ (r1/r(k)))
⊢ ∃N:ℕ+. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m)} . ∀n:{N...}.  (|a_∫-x f[n;t] dt - a_∫-x F[t] dt| ≤ (r1/r(k)))
BY
{ ((InstLemma `r-archimedean` [⌜|i-approx(I;m2)|⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN ExRepD
   THEN InstHyp [⌜(n + 1) * k⌝] (-4)⋅
   THEN Auto
   THEN (Assert i-approx(I;m2) ⊆ I  BY
               Auto)
   THEN (Assert ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m2)} . [rmin(a;x), rmax(a;x)] ⊆ I  BY
               (Auto THEN BLemma `rmin-rmax-subinterval` THEN Auto))) }

1
1. I : Interval
2. f : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
3. F : I ⟶ℝ
4. ∀n:ℕ. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f[n;x] = f[n;y]))
5. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
6. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[x] = F[y]))
7. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} 
8. k : ℕ+
9. m2 : ℕ+
10. i-approx(I;m) ⊆ i-approx(I;m2) 
11. a ∈ i-approx(I;m2)
12. icompact(i-approx(I;m2))
13. ∀k:ℕ+. ∃N:ℕ+. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m2)} . ∀n:{N...}.  (|f[n;x] - F[x]| ≤ (r1/r(k)))
14. n : ℕ
15. r(-n) ≤ |i-approx(I;m2)|
16. |i-approx(I;m2)| ≤ r(n)
17. ∃N:ℕ+. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m2)} . ∀n@0:{N...}.  (|f[n@0;x] - F[x]| ≤ (r1/r((n + 1) * k)))
18. i-approx(I;m2) ⊆ I 
19. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m2)} . [rmin(a;x), rmax(a;x)] ⊆ I 
⊢ ∃N:ℕ+. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;m)} . ∀n:{N...}.  (|a_∫-x f[n;t] dt - a_∫-x F[t] dt| ≤ (r1/r(k)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  F  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}x,y:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f[n;x]  =  f[n;y]))
5.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
6.  \mforall{}x,y:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (F[x]  =  F[y]))
7.  m  :  \{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(I;m))\} 
8.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
9.  m2  :  \mBbbN{}\msupplus{}
10.  i-approx(I;m)  \msubseteq{}  i-approx(I;m2) 
11.  a  \mmember{}  i-approx(I;m2)
12.  icompact(i-approx(I;m2))
13.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}N:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx(I;m2)\}  .  \mforall{}n:\{N...\}.    (|f[n;x]  -  F[x]|  \mleq{}  (r1/r(k)))
\mvdash{}  \mexists{}N:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx(I;m)\}  .  \mforall{}n:\{N...\}.    (|a\_\mint{}\msupminus{}x  f[n;t]  dt  -  a\_\mint{}\msupminus{}x  F[t]  dt|  \mleq{}  (r1/r(k)))


By

---

Latex:
((InstLemma  `r-archimedean`  [\mkleeneopen{}|i-approx(I;m2)|\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  ExRepD
  THEN  InstHyp  [\mkleeneopen{}(n  +  1)  *  k\mkleeneclose{}]  (-4)\mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  (Assert  i-approx(I;m2)  \msubseteq{}  I    BY
                          Auto)
  THEN  (Assert  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx(I;m2)\}  .  [rmin(a;x),  rmax(a;x)]  \msubseteq{}  I    BY
                          (Auto  THEN  BLemma  `rmin-rmax-subinterval`  THEN  Auto)))

---

Home Index