---

Step * 1 1 of Lemma general-partition-sum-from-bound


1. I : Interval
2. icompact(I)
3. f : {f:I ⟶ℝ| ifun(f;I)} 
4. b : {b:ℝ| (r0 ≤ b) ∧ (∀x:ℝ. ((x ∈ I) ⇒ (|f x| ≤ b)))} 
5. e : {e:ℝ| r0 < e} 
6. ∀p:partition(I). ∀y:partition-choice(full-partition(I;p)).  (|S(f;full-partition(I;p))| ≤ (b * |I|))
7. r0 < (b + b)
8. r0 < |I|
⊢ ∃d:{d:ℝ| r0 < d} 
   ∀p,q:{p:partition(I)| partition-mesh(I;p) ≤ d} . ∀x:partition-choice(full-partition(I;p)).
   ∀y:partition-choice(full-partition(I;q)).
     (|S(f;full-partition(I;q)) - S(f;full-partition(I;p))| ≤ e)
BY
{ ((InstLemma `ifun-continuous` [⌜I⌝;⌜f⌝]⋅ THENA EAuto 1)
   THEN RenameVar `mc' (-1)
   THEN (InstLemma `general-partition-sum-ext` [⌜I⌝;⌜f⌝;⌜mc⌝;⌜(e/|I|)⌝]⋅
         THENA (Auto THEN (MemTypeCD THEN Auto) THEN nRMul ⌜|I|⌝ 0⋅ THEN Auto)
         )) }

1
1. I : Interval
2. icompact(I)
3. f : {f:I ⟶ℝ| ifun(f;I)} 
4. b : {b:ℝ| (r0 ≤ b) ∧ (∀x:ℝ. ((x ∈ I) ⇒ (|f x| ≤ b)))} 
5. e : {e:ℝ| r0 < e} 
6. ∀p:partition(I). ∀y:partition-choice(full-partition(I;p)).  (|S(f;full-partition(I;p))| ≤ (b * |I|))
7. r0 < (b + b)
8. r0 < |I|
9. mc : f[x] continuous for x ∈ I
10. ∃d:{d:ℝ| r0 < d} 
     ∀p,q:{p:partition(I)| partition-mesh(I;p) ≤ d} . ∀x:partition-choice(full-partition(I;p)).
     ∀y:partition-choice(full-partition(I;q)).
       (|S(f;full-partition(I;q)) - S(f;full-partition(I;p))| ≤ ((e/|I|) * |I|))
⊢ ∃d:{d:ℝ| r0 < d} 
   ∀p,q:{p:partition(I)| partition-mesh(I;p) ≤ d} . ∀x:partition-choice(full-partition(I;p)).
   ∀y:partition-choice(full-partition(I;q)).
     (|S(f;full-partition(I;q)) - S(f;full-partition(I;p))| ≤ e)

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  icompact(I)
3.  f  :  \{f:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;I)\} 
4.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  b)  \mwedge{}  (\mforall{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (|f  x|  \mleq{}  b)))\} 
5.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
6.  \mforall{}p:partition(I).  \mforall{}y:partition-choice(full-partition(I;p)).
          (|S(f;full-partition(I;p))|  \mleq{}  (b  *  |I|))
7.  r0  <  (b  +  b)
8.  r0  <  |I|
\mvdash{}  \mexists{}d:\{d:\mBbbR{}|  r0  <  d\} 
      \mforall{}p,q:\{p:partition(I)|  partition-mesh(I;p)  \mleq{}  d\}  .  \mforall{}x:partition-choice(full-partition(I;p)).
      \mforall{}y:partition-choice(full-partition(I;q)).
          (|S(f;full-partition(I;q))  -  S(f;full-partition(I;p))|  \mleq{}  e)


By

---

Latex:
((InstLemma  `ifun-continuous`  [\mkleeneopen{}I\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  EAuto  1)
  THEN  RenameVar  `mc'  (-1)
  THEN  (InstLemma  `general-partition-sum-ext`  [\mkleeneopen{}I\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}mc\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}(e/|I|)\mkleeneclose{}]\mcdot{}
              THENA  (Auto  THEN  (MemTypeCD  THEN  Auto)  THEN  nRMul  \mkleeneopen{}|I|\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto)
              ))

---

Home Index