---

Step * 1 1 1 of Lemma general-partition-sum-from-bound


1. I : Interval
2. icompact(I)
3. f : {f:I ⟶ℝ| ifun(f;I)} 
4. b : {b:ℝ| (r0 ≤ b) ∧ (∀x:ℝ. ((x ∈ I) ⇒ (|f x| ≤ b)))} 
5. e : {e:ℝ| r0 < e} 
6. ∀p:partition(I). ∀y:partition-choice(full-partition(I;p)).  (|S(f;full-partition(I;p))| ≤ (b * |I|))
7. r0 < (b + b)
8. r0 < |I|
9. mc : f[x] continuous for x ∈ I
10. ∃d:{d:ℝ| r0 < d} 
     ∀p,q:{p:partition(I)| partition-mesh(I;p) ≤ d} . ∀x:partition-choice(full-partition(I;p)).
     ∀y:partition-choice(full-partition(I;q)).
       (|S(f;full-partition(I;q)) - S(f;full-partition(I;p))| ≤ ((e/|I|) * |I|))
⊢ ∃d:{d:ℝ| r0 < d} 
   ∀p,q:{p:partition(I)| partition-mesh(I;p) ≤ d} . ∀x:partition-choice(full-partition(I;p)).
   ∀y:partition-choice(full-partition(I;q)).
     (|S(f;full-partition(I;q)) - S(f;full-partition(I;p))| ≤ e)
BY
{ (RepeatFor 5 (ParallelLast) THEN (RWO  "-1" 0 THEN Auto) THEN nRNorm 0 THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  icompact(I)
3.  f  :  \{f:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;I)\} 
4.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  b)  \mwedge{}  (\mforall{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (|f  x|  \mleq{}  b)))\} 
5.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
6.  \mforall{}p:partition(I).  \mforall{}y:partition-choice(full-partition(I;p)).
          (|S(f;full-partition(I;p))|  \mleq{}  (b  *  |I|))
7.  r0  <  (b  +  b)
8.  r0  <  |I|
9.  mc  :  f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  I
10.  \mexists{}d:\{d:\mBbbR{}|  r0  <  d\} 
          \mforall{}p,q:\{p:partition(I)|  partition-mesh(I;p)  \mleq{}  d\}  .  \mforall{}x:partition-choice(full-partition(I;p)).
          \mforall{}y:partition-choice(full-partition(I;q)).
              (|S(f;full-partition(I;q))  -  S(f;full-partition(I;p))|  \mleq{}  ((e/|I|)  *  |I|))
\mvdash{}  \mexists{}d:\{d:\mBbbR{}|  r0  <  d\} 
      \mforall{}p,q:\{p:partition(I)|  partition-mesh(I;p)  \mleq{}  d\}  .  \mforall{}x:partition-choice(full-partition(I;p)).
      \mforall{}y:partition-choice(full-partition(I;q)).
          (|S(f;full-partition(I;q))  -  S(f;full-partition(I;p))|  \mleq{}  e)


By

---

Latex:
(RepeatFor  5  (ParallelLast)  THEN  (RWO    "-1"  0  THEN  Auto)  THEN  nRNorm  0  THEN  Auto)

---

Home Index