---

Step * 1 1 1 1 1 of Lemma general-partition-sum


1. I : Interval@i
2. icompact(I)
3. f : I ⟶ℝ@i
4. mc : f[x] continuous for x ∈ I@i
5. e : {e:ℝ| r0 < e} @i
6. r0 < (e/r(2))
7. k : ℕ+
8. (r1/r(k)) < (e/r(2))
9. (mc 1 k) = (mc 1 k) ∈ ℝ
10. d : ℝ
11. (mc 1 k) = d ∈ ℝ
12. r0 < d
13. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (e/r(2))))
14. r0 < (d/r(2))
15. p : {p:partition(I)| partition-mesh(I;p) ≤ (d/r(2))} 
16. q : {p:partition(I)| partition-mesh(I;p) ≤ (d/r(2))} 
17. x : partition-choice(full-partition(I;p))
18. y : partition-choice(full-partition(I;q))
⊢ |S(f;full-partition(I;q)) - S(f;full-partition(I;p))| ≤ (e * |I|)
BY
{ (BLemma `rleq-iff-all-rless` THEN Auto THEN RenameVar `alpha' (-1)) }

1
1. I : Interval@i
2. icompact(I)
3. f : I ⟶ℝ@i
4. mc : f[x] continuous for x ∈ I@i
5. e : {e:ℝ| r0 < e} @i
6. r0 < (e/r(2))
7. k : ℕ+
8. (r1/r(k)) < (e/r(2))
9. (mc 1 k) = (mc 1 k) ∈ ℝ
10. d : ℝ
11. (mc 1 k) = d ∈ ℝ
12. r0 < d
13. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (e/r(2))))
14. r0 < (d/r(2))
15. p : {p:partition(I)| partition-mesh(I;p) ≤ (d/r(2))} 
16. q : {p:partition(I)| partition-mesh(I;p) ≤ (d/r(2))} 
17. x : partition-choice(full-partition(I;p))
18. y : partition-choice(full-partition(I;q))
19. alpha : {e:ℝ| r0 < e} 
⊢ |S(f;full-partition(I;q)) - S(f;full-partition(I;p))| ≤ ((e * |I|) + alpha)

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval@i
2.  icompact(I)
3.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}@i
4.  mc  :  f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  I@i
5.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\}  @i
6.  r0  <  (e/r(2))
7.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  (r1/r(k))  <  (e/r(2))
9.  (mc  1  k)  =  (mc  1  k)
10.  d  :  \mBbbR{}
11.  (mc  1  k)  =  d
12.  r0  <  d
13.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)  {}\mRightarrow{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (e/r(2))))
14.  r0  <  (d/r(2))
15.  p  :  \{p:partition(I)|  partition-mesh(I;p)  \mleq{}  (d/r(2))\} 
16.  q  :  \{p:partition(I)|  partition-mesh(I;p)  \mleq{}  (d/r(2))\} 
17.  x  :  partition-choice(full-partition(I;p))
18.  y  :  partition-choice(full-partition(I;q))
\mvdash{}  |S(f;full-partition(I;q))  -  S(f;full-partition(I;p))|  \mleq{}  (e  *  |I|)


By

---

Latex:
(BLemma  `rleq-iff-all-rless`  THEN  Auto  THEN  RenameVar  `alpha'  (-1))

---

Home Index