---

Step * 1 of Lemma integral-from-Taylor


1. a : ℝ
2. t : {t:ℝ| r0 < t} 
3. F : ℕ ⟶ (a - t, a + t) ⟶ℝ
4. ∀k:ℕ. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ (a - t, a + t)} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
5. infinite-deriv-seq((a - t, a + t);i,x.F[i;x])
6. ∀r:{r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ (r < t)} . lim k→∞.r^k * (F[k + 1;x]/r((k)!)) = λx.r0 for x ∈ (a - t, a + t)
7. b : {b:ℝ| b ∈ (a - t, a + t)} 
8. lim n→∞.b_∫-x Σ{(F[i;a]/r((i)!)) * t - a^i | 0≤i≤n} dt = λx.b_∫-x F[0;t] dt for x ∈ (a - t, a + t)
9. n : ℕ
10. x : {x:ℝ| x ∈ (a - t, a + t)} 
11. [rmin(b;x), rmax(b;x)] ⊆ (a - t, a + t) 
⊢ b_∫-x Σ{(F[i;a]/r((i)!)) * t - a^i | 0≤i≤n} dt = Σ{(F[i;a]/r((i)!)) * (x - a^i + 1 - b - a^i + 1/r(i + 1)) | 0≤i≤n}
BY
{ (RWO "integral-rsum" 0 THENA Auto) }

1
.....wf..... 
1. a : ℝ
2. t : {t:ℝ| r0 < t} 
3. F : ℕ ⟶ (a - t, a + t) ⟶ℝ
4. ∀k:ℕ. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ (a - t, a + t)} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
5. infinite-deriv-seq((a - t, a + t);i,x.F[i;x])
6. ∀r:{r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ (r < t)} . lim k→∞.r^k * (F[k + 1;x]/r((k)!)) = λx.r0 for x ∈ (a - t, a + t)
7. b : {b:ℝ| b ∈ (a - t, a + t)} 
8. lim n→∞.b_∫-x Σ{(F[i;a]/r((i)!)) * t - a^i | 0≤i≤n} dt = λx.b_∫-x F[0;t] dt for x ∈ (a - t, a + t)
9. n : ℕ
10. x : {x:ℝ| x ∈ (a - t, a + t)} 
11. [rmin(b;x), rmax(b;x)] ⊆ (a - t, a + t) 
⊢ λi,t. ((F[i;a]/r((i)!)) * t - a^i) ∈ {f:ℕn + 1 ⟶ [rmin(b;x), rmax(b;x)] ⟶ℝ| 
                                    ∀i:ℕn + 1. ifun(λx.f[i;x];[rmin(b;x), rmax(b;x)])} 

2
1. a : ℝ
2. t : {t:ℝ| r0 < t} 
3. F : ℕ ⟶ (a - t, a + t) ⟶ℝ
4. ∀k:ℕ. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ (a - t, a + t)} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
5. infinite-deriv-seq((a - t, a + t);i,x.F[i;x])
6. ∀r:{r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ (r < t)} . lim k→∞.r^k * (F[k + 1;x]/r((k)!)) = λx.r0 for x ∈ (a - t, a + t)
7. b : {b:ℝ| b ∈ (a - t, a + t)} 
8. lim n→∞.b_∫-x Σ{(F[i;a]/r((i)!)) * t - a^i | 0≤i≤n} dt = λx.b_∫-x F[0;t] dt for x ∈ (a - t, a + t)
9. n : ℕ
10. x : {x:ℝ| x ∈ (a - t, a + t)} 
11. [rmin(b;x), rmax(b;x)] ⊆ (a - t, a + t) 
⊢ Σ{b_∫-x (F[i;a]/r((i)!)) * t - a^i dt | 0≤i≤n} = Σ{(F[i;a]/r((i)!)) * (x - a^i + 1 - b - a^i + 1/r(i + 1)) | 0≤i≤n}

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  t  :  \{t:\mBbbR{}|  r0  <  t\} 
3.  F  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (a  -  t,  a  +  t)  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  \mforall{}k:\mBbbN{}.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  (a  -  t,  a  +  t)\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (F[k;x]  =  F[k;y]))
5.  infinite-deriv-seq((a  -  t,  a  +  t);i,x.F[i;x])
6.  \mforall{}r:\{r:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  r)  \mwedge{}  (r  <  t)\}  .  lim  k\mrightarrow{}\minfty{}.r\^{}k  *  (F[k  +  1;x]/r((k)!))  =  \mlambda{}x.r0  for  x  \mmember{}  (a  -  t,  a  +  t)
7.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  b  \mmember{}  (a  -  t,  a  +  t)\} 
8.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.b\_\mint{}\msupminus{}x  \mSigma{}\{(F[i;a]/r((i)!))  *  t  -  a\^{}i  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}  dt  =  \mlambda{}x.b\_\mint{}\msupminus{}x  F[0;t]  dt  for  x  \mmember{}  (a  -  t,  a
+  t)
9.  n  :  \mBbbN{}
10.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  (a  -  t,  a  +  t)\} 
11.  [rmin(b;x),  rmax(b;x)]  \msubseteq{}  (a  -  t,  a  +  t) 
\mvdash{}  b\_\mint{}\msupminus{}x  \mSigma{}\{(F[i;a]/r((i)!))  *  t  -  a\^{}i  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}  dt
=  \mSigma{}\{(F[i;a]/r((i)!))  *  (x  -  a\^{}i  +  1  -  b  -  a\^{}i  +  1/r(i  +  1))  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}


By

---

Latex:
(RWO  "integral-rsum"  0  THENA  Auto)

---

Home Index