---

Step * 1 3 1 2 1 of Lemma log-contraction-Taylor


1. a : ℝ
2. x : ℝ
3. r0 < a
4. |x - rlog(a)| ≤ r1
5. ∀x:ℝ. (r0 < (a + e^x))
6. ∀x:ℝ. ∀n:ℕ+.  (r0 < a + e^x^n)
7. e : {e:ℝ| r0 < e} 
8. c : ℝ
9. rmin(rlog(a);x) ≤ c
10. c ≤ rmax(rlog(a);x)
11. |log-contraction(a;x) - rlog(a) - (x - c^2
* ((((r(16) * a^2) * e^c^2) + ((r(-4) * a^3) * e^c) + ((r(-4) * a) * e^c^3)/a + e^c^4)/r((2)!)))
* (x - rlog(a))| ≤ e
⊢ |log-contraction(a;x) - rlog(a)| ≤ (((r1/r(4)) * |x - rlog(a)|^3) + e)
BY
{ Assert ⌜|c - rlog(a)| ≤ |x - rlog(a)|⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. a : ℝ
2. x : ℝ
3. r0 < a
4. |x - rlog(a)| ≤ r1
5. ∀x:ℝ. (r0 < (a + e^x))
6. ∀x:ℝ. ∀n:ℕ+.  (r0 < a + e^x^n)
7. e : {e:ℝ| r0 < e} 
8. c : ℝ
9. rmin(rlog(a);x) ≤ c
10. c ≤ rmax(rlog(a);x)
11. |log-contraction(a;x) - rlog(a) - (x - c^2
* ((((r(16) * a^2) * e^c^2) + ((r(-4) * a^3) * e^c) + ((r(-4) * a) * e^c^3)/a + e^c^4)/r((2)!)))
* (x - rlog(a))| ≤ e
⊢ |c - rlog(a)| ≤ |x - rlog(a)|

2
1. a : ℝ
2. x : ℝ
3. r0 < a
4. |x - rlog(a)| ≤ r1
5. ∀x:ℝ. (r0 < (a + e^x))
6. ∀x:ℝ. ∀n:ℕ+.  (r0 < a + e^x^n)
7. e : {e:ℝ| r0 < e} 
8. c : ℝ
9. rmin(rlog(a);x) ≤ c
10. c ≤ rmax(rlog(a);x)
11. |log-contraction(a;x) - rlog(a) - (x - c^2
* ((((r(16) * a^2) * e^c^2) + ((r(-4) * a^3) * e^c) + ((r(-4) * a) * e^c^3)/a + e^c^4)/r((2)!)))
* (x - rlog(a))| ≤ e
12. |c - rlog(a)| ≤ |x - rlog(a)|
⊢ |log-contraction(a;x) - rlog(a)| ≤ (((r1/r(4)) * |x - rlog(a)|^3) + e)

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  x  :  \mBbbR{}
3.  r0  <  a
4.  |x  -  rlog(a)|  \mleq{}  r1
5.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (r0  <  (a  +  e\^{}x))
6.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.    (r0  <  a  +  e\^{}x\^{}n)
7.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
8.  c  :  \mBbbR{}
9.  rmin(rlog(a);x)  \mleq{}  c
10.  c  \mleq{}  rmax(rlog(a);x)
11.  |log-contraction(a;x)  -  rlog(a)  -  (x  -  c\^{}2
*  ((((r(16)  *  a\^{}2)  *  e\^{}c\^{}2)  +  ((r(-4)  *  a\^{}3)  *  e\^{}c)  +  ((r(-4)  *  a)  *  e\^{}c\^{}3)/a  +  e\^{}c\^{}4)/r((2)!)))
*  (x  -  rlog(a))|  \mleq{}  e
\mvdash{}  |log-contraction(a;x)  -  rlog(a)|  \mleq{}  (((r1/r(4))  *  |x  -  rlog(a)|\^{}3)  +  e)


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}|c  -  rlog(a)|  \mleq{}  |x  -  rlog(a)|\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index