---

Step * 1 1 of Lemma rabs-partition-sum


1. I : Interval
2. icompact(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. p : partition(I)
5. y : partition-choice(full-partition(I;p))
6. a : ℕ||p|| + 1 ⟶ {x:ℝ| x ∈ I} 
7. y = a ∈ (ℕ||p|| + 1 ⟶ {x:ℝ| x ∈ I} )
8. ||full-partition(I;p)|| = (||p|| + 2) ∈ ℤ
9. i : ℤ
10. 0 ≤ i
11. i ≤ (||full-partition(I;p)|| - 2)
⊢ |(f (a i)) * (full-partition(I;p)[i + 1] - full-partition(I;p)[i])|
= (|f (a i)| * (full-partition(I;p)[i + 1] - full-partition(I;p)[i]))
BY
{ ((Assert frs-non-dec(full-partition(I;p)) BY
          EAuto 1)
   THEN (Assert r0 ≤ (full-partition(I;p)[i + 1] - full-partition(I;p)[i]) BY
               (nRAdd ⌜full-partition(I;p)[i]⌝ 0⋅ THEN Auto))
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN (GenConclTerms Auto [⌜f (a i)⌝;⌜full-partition(I;p)[i + 1] - full-partition(I;p)[i]⌝]⋅ THENA Auto)) }

1
1. I : Interval
2. icompact(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. p : partition(I)
5. y : partition-choice(full-partition(I;p))
6. a : ℕ||p|| + 1 ⟶ {x:ℝ| x ∈ I} 
7. y = a ∈ (ℕ||p|| + 1 ⟶ {x:ℝ| x ∈ I} )
8. ||full-partition(I;p)|| = (||p|| + 2) ∈ ℤ
9. i : ℤ
10. 0 ≤ i
11. i ≤ (||full-partition(I;p)|| - 2)
12. frs-non-dec(full-partition(I;p))
13. v : ℝ
14. (f (a i)) = v ∈ ℝ
15. v1 : ℝ
16. (full-partition(I;p)[i + 1] - full-partition(I;p)[i]) = v1 ∈ ℝ
⊢ (r0 ≤ v1) ⇒ (|v * v1| = (|v| * v1))

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  icompact(I)
3.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  p  :  partition(I)
5.  y  :  partition-choice(full-partition(I;p))
6.  a  :  \mBbbN{}||p||  +  1  {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\} 
7.  y  =  a
8.  ||full-partition(I;p)||  =  (||p||  +  2)
9.  i  :  \mBbbZ{}
10.  0  \mleq{}  i
11.  i  \mleq{}  (||full-partition(I;p)||  -  2)
\mvdash{}  |(f  (a  i))  *  (full-partition(I;p)[i  +  1]  -  full-partition(I;p)[i])|
=  (|f  (a  i)|  *  (full-partition(I;p)[i  +  1]  -  full-partition(I;p)[i]))


By

---

Latex:
((Assert  frs-non-dec(full-partition(I;p))  BY
                EAuto  1)
  THEN  (Assert  r0  \mleq{}  (full-partition(I;p)[i  +  1]  -  full-partition(I;p)[i])  BY
                          (nRAdd  \mkleeneopen{}full-partition(I;p)[i]\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto))
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  (GenConclTerms  Auto  [\mkleeneopen{}f  (a  i)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}full-partition(I;p)[i  +  1]  -  full-partition(I;p)[i]\mkleeneclose{}]\mcdot{}
              THENA  Auto
              ))

---

Home Index