---

Step * 1 1 1 2 2 of Lemma rexp-functional-equation


1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
3. ∀x,y:ℝ.  (f(x + y) = (f(x) * f(y)))
4. f(r0) = r1
5. ∀x:ℝ. (r0 < f(x))
6. ∀x,y:ℝ.  (λx.rlog(f(x))(x + y) = (λx.rlog(f(x))(x) + λx.rlog(f(x))(y))) ⇐⇒ ∃c:ℝ. ∀x:ℝ. (λx.rlog(f(x))(x) = (c * x))
⊢ ∃c:ℝ. ∀x:ℝ. (f(x) = e^c * x)
BY
{ (RepUR  ``rfun-ap`` (-1) THEN Fold `rfun-ap` (-1))⋅ }

1
1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
3. ∀x,y:ℝ.  (f(x + y) = (f(x) * f(y)))
4. f(r0) = r1
5. ∀x:ℝ. (r0 < f(x))
6. ∀x,y:ℝ.  (rlog(f(x + y)) = (rlog(f(x)) + rlog(f(y)))) ⇐⇒ ∃c:ℝ. ∀x:ℝ. (rlog(f(x)) = (c * x))
⊢ ∃c:ℝ. ∀x:ℝ. (f(x) = e^c * x)

---

Latex:

---

Latex:

1.  f  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  =  (f  y)))
3.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    (f(x  +  y)  =  (f(x)  *  f(y)))
4.  f(r0)  =  r1
5.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (r0  <  f(x))
6.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    (\mlambda{}x.rlog(f(x))(x  +  y)  =  (\mlambda{}x.rlog(f(x))(x)  +  \mlambda{}x.rlog(f(x))(y)))
\mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}c:\mBbbR{}.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (\mlambda{}x.rlog(f(x))(x)  =  (c  *  x))
\mvdash{}  \mexists{}c:\mBbbR{}.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(x)  =  e\^{}c  *  x)


By

---

Latex:
(RepUR    ``rfun-ap``  (-1)  THEN  Fold  `rfun-ap`  (-1))\mcdot{}

---

Home Index