---

Step * 1 1 1 of Lemma rsin-rminus


1. x : ℝ
2. ∀I:Interval. ∀f,f':I ⟶ℝ. ∀g,g':(-∞, ∞) ⟶ℝ.
     ((∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  (f'[x] ≠ f'[y] ⇒ x ≠ y))
     ⇒ f'[x] continuous for x ∈ I
     ⇒ g'[x] continuous for x ∈ (-∞, ∞)
     ⇒ d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
     ⇒ d(g[x])/dx = λx.g'[x] on (-∞, ∞)
     ⇒ d(g[f[x]])/dx = λx.g'[f[x]] * f'[x] on I)
⊢ d(rcos(-(x)))/dx = λx.rsin(-(x)) on (-∞, ∞)
BY
{ (InstLemma `derivative-function-rminus` [⌜λ2x.rcos(x)⌝;⌜λ2x.-(rsin(x))⌝]⋅ THENA (Auto THEN RWO  "-1" 0 THEN Auto)) }

1
1. x : ℝ
2. ∀I:Interval. ∀f,f':I ⟶ℝ. ∀g,g':(-∞, ∞) ⟶ℝ.
     ((∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  (f'[x] ≠ f'[y] ⇒ x ≠ y))
     ⇒ f'[x] continuous for x ∈ I
     ⇒ g'[x] continuous for x ∈ (-∞, ∞)
     ⇒ d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
     ⇒ d(g[x])/dx = λx.g'[x] on (-∞, ∞)
     ⇒ d(g[f[x]])/dx = λx.g'[f[x]] * f'[x] on I)
3. d(rcos(-(x)))/dx = λx.-(-(rsin(-(x)))) on (-∞, ∞)
⊢ d(rcos(-(x)))/dx = λx.rsin(-(x)) on (-∞, ∞)

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbR{}
2.  \mforall{}I:Interval.  \mforall{}f,f':I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}.  \mforall{}g,g':(-\minfty{},  \minfty{})  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}.
          ((\mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    (f'[x]  \mneq{}  f'[y]  {}\mRightarrow{}  x  \mneq{}  y))
          {}\mRightarrow{}  f'[x]  continuous  for  x  \mmember{}  I
          {}\mRightarrow{}  g'[x]  continuous  for  x  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})
          {}\mRightarrow{}  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  I
          {}\mRightarrow{}  d(g[x])/dx  =  \mlambda{}x.g'[x]  on  (-\minfty{},  \minfty{})
          {}\mRightarrow{}  d(g[f[x]])/dx  =  \mlambda{}x.g'[f[x]]  *  f'[x]  on  I)
\mvdash{}  d(rcos(-(x)))/dx  =  \mlambda{}x.rsin(-(x))  on  (-\minfty{},  \minfty{})


By

---

Latex:
(InstLemma  `derivative-function-rminus`  [\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.rcos(x)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.-(rsin(x))\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THENA  (Auto  THEN  RWO    "-1"  0  THEN  Auto)
  )

---

Home Index