---

Step * 1 1 1 1 of Lemma rsin-rminus


1. x : ℝ
2. ∀I:Interval. ∀f,f':I ⟶ℝ. ∀g,g':(-∞, ∞) ⟶ℝ.
     ((∀x,y:{x:ℝ| x ∈ I} .  (f'[x] ≠ f'[y] ⇒ x ≠ y))
     ⇒ f'[x] continuous for x ∈ I
     ⇒ g'[x] continuous for x ∈ (-∞, ∞)
     ⇒ d(f[x])/dx = λx.f'[x] on I
     ⇒ d(g[x])/dx = λx.g'[x] on (-∞, ∞)
     ⇒ d(g[f[x]])/dx = λx.g'[f[x]] * f'[x] on I)
3. d(rcos(-(x)))/dx = λx.-(-(rsin(-(x)))) on (-∞, ∞)
⊢ d(rcos(-(x)))/dx = λx.rsin(-(x)) on (-∞, ∞)
BY
{ (DerivativeFunctionality (-1) THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbR{}
2.  \mforall{}I:Interval.  \mforall{}f,f':I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}.  \mforall{}g,g':(-\minfty{},  \minfty{})  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}.
          ((\mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  I\}  .    (f'[x]  \mneq{}  f'[y]  {}\mRightarrow{}  x  \mneq{}  y))
          {}\mRightarrow{}  f'[x]  continuous  for  x  \mmember{}  I
          {}\mRightarrow{}  g'[x]  continuous  for  x  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})
          {}\mRightarrow{}  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  I
          {}\mRightarrow{}  d(g[x])/dx  =  \mlambda{}x.g'[x]  on  (-\minfty{},  \minfty{})
          {}\mRightarrow{}  d(g[f[x]])/dx  =  \mlambda{}x.g'[f[x]]  *  f'[x]  on  I)
3.  d(rcos(-(x)))/dx  =  \mlambda{}x.-(-(rsin(-(x))))  on  (-\minfty{},  \minfty{})
\mvdash{}  d(rcos(-(x)))/dx  =  \mlambda{}x.rsin(-(x))  on  (-\minfty{},  \minfty{})


By

---

Latex:
(DerivativeFunctionality  (-1)  THEN  Auto)

---

Home Index