---

Step * 2 2 1 1 1 1 of Lemma finite-Ramsey1


1. k : ℕ
2. ∀k:ℕk. ∀s:ℕ2 ⟶ ℕ.
     ((((s 0) + (s 1)) ≤ k)
     ⇒ (∃N:ℕ+
          ∀g:ℕN ⟶ ℕN ⟶ ℕ2
            ∃i:ℕ2. ∃f:ℕs i ⟶ ℕN. (Inj(ℕs i;ℕN;f) ∧ (∀a,b:ℕs i.  (f a < f b ⇒ ((g (f a) (f b)) = i ∈ ℤ))))))
3. s : ℕ2 ⟶ ℕ
4. ((s 0) + (s 1)) ≤ k
⊢ ∃N:ℕ+
   ∀g:ℕN ⟶ ℕN ⟶ ℕ2. ∃i:ℕ2. ∃f:ℕs i ⟶ ℕN. (Inj(ℕs i;ℕN;f) ∧ (∀a,b:ℕs i.  (f a < f b ⇒ ((g (f a) (f b)) = i ∈ ℤ))))
BY
{ (Decide (s 0) = 0 ∈ ℤ THENA Auto) }

1
1. k : ℕ
2. ∀k:ℕk. ∀s:ℕ2 ⟶ ℕ.
     ((((s 0) + (s 1)) ≤ k)
     ⇒ (∃N:ℕ+
          ∀g:ℕN ⟶ ℕN ⟶ ℕ2
            ∃i:ℕ2. ∃f:ℕs i ⟶ ℕN. (Inj(ℕs i;ℕN;f) ∧ (∀a,b:ℕs i.  (f a < f b ⇒ ((g (f a) (f b)) = i ∈ ℤ))))))
3. s : ℕ2 ⟶ ℕ
4. ((s 0) + (s 1)) ≤ k
5. (s 0) = 0 ∈ ℤ
⊢ ∃N:ℕ+
   ∀g:ℕN ⟶ ℕN ⟶ ℕ2. ∃i:ℕ2. ∃f:ℕs i ⟶ ℕN. (Inj(ℕs i;ℕN;f) ∧ (∀a,b:ℕs i.  (f a < f b ⇒ ((g (f a) (f b)) = i ∈ ℤ))))

2
1. k : ℕ
2. ∀k:ℕk. ∀s:ℕ2 ⟶ ℕ.
     ((((s 0) + (s 1)) ≤ k)
     ⇒ (∃N:ℕ+
          ∀g:ℕN ⟶ ℕN ⟶ ℕ2
            ∃i:ℕ2. ∃f:ℕs i ⟶ ℕN. (Inj(ℕs i;ℕN;f) ∧ (∀a,b:ℕs i.  (f a < f b ⇒ ((g (f a) (f b)) = i ∈ ℤ))))))
3. s : ℕ2 ⟶ ℕ
4. ((s 0) + (s 1)) ≤ k
5. ¬((s 0) = 0 ∈ ℤ)
⊢ ∃N:ℕ+
   ∀g:ℕN ⟶ ℕN ⟶ ℕ2. ∃i:ℕ2. ∃f:ℕs i ⟶ ℕN. (Inj(ℕs i;ℕN;f) ∧ (∀a,b:ℕs i.  (f a < f b ⇒ ((g (f a) (f b)) = i ∈ ℤ))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  \mforall{}k:\mBbbN{}k.  \mforall{}s:\mBbbN{}2  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.
          ((((s  0)  +  (s  1))  \mleq{}  k)
          {}\mRightarrow{}  (\mexists{}N:\mBbbN{}\msupplus{}
                    \mforall{}g:\mBbbN{}N  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}N  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}2
                        \mexists{}i:\mBbbN{}2
                          \mexists{}f:\mBbbN{}s  i  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}N.  (Inj(\mBbbN{}s  i;\mBbbN{}N;f)  \mwedge{}  (\mforall{}a,b:\mBbbN{}s  i.    (f  a  <  f  b  {}\mRightarrow{}  ((g  (f  a)  (f  b))  =  i))))))
3.  s  :  \mBbbN{}2  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
4.  ((s  0)  +  (s  1))  \mleq{}  k
\mvdash{}  \mexists{}N:\mBbbN{}\msupplus{}
      \mforall{}g:\mBbbN{}N  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}N  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}2
          \mexists{}i:\mBbbN{}2.  \mexists{}f:\mBbbN{}s  i  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}N.  (Inj(\mBbbN{}s  i;\mBbbN{}N;f)  \mwedge{}  (\mforall{}a,b:\mBbbN{}s  i.    (f  a  <  f  b  {}\mRightarrow{}  ((g  (f  a)  (f  b))  =  i))))


By

---

Latex:
(Decide  (s  0)  =  0  THENA  Auto)

---

Home Index