---

Step * 1 1 2 of Lemma gen-bar-rec


1. P : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ@i'
2. ind : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. P[n + 1;s.m@n]) ⇒ P[n;s])@i
3. bar : ∀f:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. ∀m:{n...}. P[m;f])@i
4. M : n:ℕ ⟶ s:(ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (k:ℕn × (∀m:{k...}. P[m;ext2Baire(n;s;0)])?)@i
5. ∀f:ℕ ⟶ ℕ
     ∃n:ℕ
      ∃k:ℕn
       ∃p:∀m:{k...}. P[m;ext2Baire(n;f;0)]
        (((M n f) = (inl <k, p>) ∈ (k:ℕn × (∀m:{k...}. P[m;ext2Baire(n;f;0)])?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ (m = n ∈ ℕ))\000C))
6. n : ℕ
7. s : ℕn ⟶ ℕ
8. w : ↑isl(M n s)
⊢ spector-bar-rec(λn,s. if M n s then 0 else n + 1 fi ;λn,s. case M n s of inl(x) => let k,F = x in F n | inr(x) => ⊥;in\000Cd;n;s)
  ∈ P[n;s]
BY
{ (MoveToConcl (-1)
   THEN RecUnfold `spector-bar-rec` 0⋅
   THEN Reduce 0
   THEN (GenConclTerm ⌜M n s⌝⋅ THENA Auto)
   THEN DVar `v'
   THEN Reduce 0
   THEN (D 0 THENA Auto)
   THEN Try (Complete (D (-1)))
   THEN DVar `x'
   THEN Reduce 0
   THEN (Subst ⌜0 ≤z n ~ tt⌝ 0⋅ THENA Auto)
   THEN Reduce 0) }

1
1. P : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ@i'
2. ind : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. P[n + 1;s.m@n]) ⇒ P[n;s])@i
3. bar : ∀f:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. ∀m:{n...}. P[m;f])@i
4. M : n:ℕ ⟶ s:(ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (k:ℕn × (∀m:{k...}. P[m;ext2Baire(n;s;0)])?)@i
5. ∀f:ℕ ⟶ ℕ
     ∃n:ℕ
      ∃k:ℕn
       ∃p:∀m:{k...}. P[m;ext2Baire(n;f;0)]
        (((M n f) = (inl <k, p>) ∈ (k:ℕn × (∀m:{k...}. P[m;ext2Baire(n;f;0)])?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ (m = n ∈ ℕ))\000C))
6. n : ℕ
7. s : ℕn ⟶ ℕ
8. k : ℕn@i
9. x1 : ∀m:{k...}. P[m;ext2Baire(n;s;0)]@i
10. (M n s) = (inl <k, x1>) ∈ (k:ℕn × (∀m:{k...}. P[m;ext2Baire(n;s;0)])?)
11. w : True@i
⊢ x1 n ∈ P[n;s]

---

Latex:

---

Latex:

1.  P  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}@i'
2.  ind  :  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    ((\mforall{}m:\mBbbN{}.  P[n  +  1;s.m@n])  {}\mRightarrow{}  P[n;s])@i
3.  bar  :  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \00D9(\mexists{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}m:\{n...\}.  P[m;f])@i
4.  M  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  s:(\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  (k:\mBbbN{}n  \mtimes{}  (\mforall{}m:\{k...\}.  P[m;ext2Baire(n;s;0)])?)@i
5.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
          \mexists{}n:\mBbbN{}
            \mexists{}k:\mBbbN{}n
              \mexists{}p:\mforall{}m:\{k...\}.  P[m;ext2Baire(n;f;0)]
                (((M  n  f)  =  (inl  <k,  p>))  \mwedge{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}.  ((\muparrow{}isl(M  m  f))  {}\mRightarrow{}  (m  =  n))))
6.  n  :  \mBbbN{}
7.  s  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
8.  w  :  \muparrow{}isl(M  n  s)
\mvdash{}  spector-bar-rec(\mlambda{}n,s.  if  M  n  s  then  0  else  n  +  1  fi  ;\mlambda{}n,s.  case  M  n  s
                                                                                                                  of  inl(x)  =>
                                                                                                                  let  k,F  =  x 
                                                                                                                  in  F  n
                                                                                                                  |  inr(x)  =>
                                                                                                                  \mbot{};ind;n;s)  \mmember{}  P[n;s]


By

---

Latex:
(MoveToConcl  (-1)
  THEN  RecUnfold  `spector-bar-rec`  0\mcdot{}
  THEN  Reduce  0
  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}M  n  s\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  DVar  `v'
  THEN  Reduce  0
  THEN  (D  0  THENA  Auto)
  THEN  Try  (Complete  (D  (-1)))
  THEN  DVar  `x'
  THEN  Reduce  0
  THEN  (Subst  \mkleeneopen{}0  \mleq{}z  n  \msim{}  tt\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Reduce  0)

---

Home Index