---

Step * 1 1 1 2 1 1 2 of Lemma monotone-bar-induction3


1. B : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
2. Q : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
3. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ⇒ (∀m:ℕ. B[n + 1;s.m@n]))
4. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ⇒ ⇃(Q[n;s]))
5. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. ⇃(Q[n + 1;s.m@n])) ⇒ ⇃(Q[n;s]))
6. bar : ∀alpha:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃m:ℕ. B[m;alpha])
7. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕn?)
8. ∀f:ℕ ⟶ ℕ
     ∃n:ℕ. ∃k:ℕn. ((B k f) ∧ ((M n f) = (inl k) ∈ (ℕ?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ ((M m f) = (inl k) ∈ (ℕ?)))))
9. n : ℕ
10. s : ℕn ⟶ ℕ
11. ∀t:ℕ. ⇃(Q[n + 1;s++t])
12. m : ℕ
13. ⇃(Q[n + 1;s++m])
14. Q[n + 1;s++m] ⇒ Q[n + 1;s.m@n]
⊢ ⇃(Q[n + 1;s.m@n])
BY
{ TACTIC:(RenameVar `f' (-1) THEN RenameVar `x' (-2) THEN UseWitness ⌜f x⌝⋅ THEN newQuotientElim1 (-2)⋅ THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  B  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  Q  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    (B[n;s]  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}.  B[n  +  1;s.m@n]))
4.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    (B[n;s]  {}\mRightarrow{}  \00D9(Q[n;s]))
5.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    ((\mforall{}m:\mBbbN{}.  \00D9(Q[n  +  1;s.m@n]))  {}\mRightarrow{}  \00D9(Q[n;s]))
6.  bar  :  \mforall{}alpha:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \00D9(\mexists{}m:\mBbbN{}.  B[m;alpha])
7.  M  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n?)
8.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
          \mexists{}n:\mBbbN{}.  \mexists{}k:\mBbbN{}n.  ((B  k  f)  \mwedge{}  ((M  n  f)  =  (inl  k))  \mwedge{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}.  ((\muparrow{}isl(M  m  f))  {}\mRightarrow{}  ((M  m  f)  =  (inl  k)))))
9.  n  :  \mBbbN{}
10.  s  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
11.  \mforall{}t:\mBbbN{}.  \00D9(Q[n  +  1;s++t])
12.  m  :  \mBbbN{}
13.  \00D9(Q[n  +  1;s++m])
14.  Q[n  +  1;s++m]  {}\mRightarrow{}  Q[n  +  1;s.m@n]
\mvdash{}  \00D9(Q[n  +  1;s.m@n])


By

---

Latex:
TACTIC:(RenameVar  `f'  (-1)
                THEN  RenameVar  `x'  (-2)
                THEN  UseWitness  \mkleeneopen{}f  x\mkleeneclose{}\mcdot{}
                THEN  newQuotientElim1  (-2)\mcdot{}
                THEN  Auto)

---

Home Index