---

Step * 1 1 1 1 1 of Lemma monotone-bar-induction8-implies-3

.....upcase..... 
1. ∀Q:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
     ((∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. ⇃(Q[n + 1;s.m@n])) ⇒ ⇃(Q[n;s])))
     ⇒ (∀f:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. ∀m:{n...}. ⇃(Q[m;f])))
     ⇒ ⇃(Q[0;λx.⊥]))
2. B : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
3. Q : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
4. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ⇒ (∀m:ℕ. B[n + 1;s.m@n]))
5. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ⇒ ⇃(Q[n;s]))
6. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. ⇃(Q[n + 1;s.m@n])) ⇒ ⇃(Q[n;s]))
7. ∀alpha:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃m:ℕ. B[m;alpha])
8. f : ℕ ⟶ ℕ
9. m : ℕ
10. B[m;f]
11. k : ℤ
12. [%8] : 0 < k
13. B[m + (k - 1);f]
⊢ B[m + k;f]
BY
{ ((InstHyp [⌜m + (k - 1)⌝;⌜f⌝] (-10)⋅ THEN Try (CpltAuto)) THEN (Subst ⌜(m + (k - 1)) + 1 ~ m + k⌝ (-1)⋅ THENA Auto)) }

1
1. ∀Q:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
     ((∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. ⇃(Q[n + 1;s.m@n])) ⇒ ⇃(Q[n;s])))
     ⇒ (∀f:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. ∀m:{n...}. ⇃(Q[m;f])))
     ⇒ ⇃(Q[0;λx.⊥]))
2. B : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
3. Q : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
4. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ⇒ (∀m:ℕ. B[n + 1;s.m@n]))
5. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ⇒ ⇃(Q[n;s]))
6. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. ⇃(Q[n + 1;s.m@n])) ⇒ ⇃(Q[n;s]))
7. ∀alpha:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃m:ℕ. B[m;alpha])
8. f : ℕ ⟶ ℕ
9. m : ℕ
10. B[m;f]
11. k : ℤ
12. [%8] : 0 < k
13. B[m + (k - 1);f]
14. ∀m@0:ℕ. B[m + k;f.m@0@m + (k - 1)]
⊢ B[m + k;f]

---

Latex:

---

Latex:
.....upcase..... 
1.  \mforall{}Q:n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
          ((\mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    ((\mforall{}m:\mBbbN{}.  \00D9(Q[n  +  1;s.m@n]))  {}\mRightarrow{}  \00D9(Q[n;s])))
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \00D9(\mexists{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}m:\{n...\}.  \00D9(Q[m;f])))
          {}\mRightarrow{}  \00D9(Q[0;\mlambda{}x.\mbot{}]))
2.  B  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  Q  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
4.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    (B[n;s]  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}.  B[n  +  1;s.m@n]))
5.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    (B[n;s]  {}\mRightarrow{}  \00D9(Q[n;s]))
6.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    ((\mforall{}m:\mBbbN{}.  \00D9(Q[n  +  1;s.m@n]))  {}\mRightarrow{}  \00D9(Q[n;s]))
7.  \mforall{}alpha:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \00D9(\mexists{}m:\mBbbN{}.  B[m;alpha])
8.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
9.  m  :  \mBbbN{}
10.  B[m;f]
11.  k  :  \mBbbZ{}
12.  [\%8]  :  0  <  k
13.  B[m  +  (k  -  1);f]
\mvdash{}  B[m  +  k;f]


By

---

Latex:
((InstHyp  [\mkleeneopen{}m  +  (k  -  1)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{}]  (-10)\mcdot{}  THEN  Try  (CpltAuto))
  THEN  (Subst  \mkleeneopen{}(m  +  (k  -  1))  +  1  \msim{}  m  +  k\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto)
  )

---

Home Index