Nuprl Lemma : list_accum-set-equal-idemp

∀[T:Type]. ∀[eq:EqDecider(T)]. ∀[A:Type]. ∀[g:T ⟶ A]. ∀[f:A ⟶ A ⟶ A].
  (∀[as,bs:T List].
     ∀[n:A]
       (accumulate (with value a and list item z):
         f[a;g[z]]
        over list:
          as
        with starting value:
         n)
       = accumulate (with value a and list item z):
          f[a;g[z]]
         over list:
           bs
         with starting value:
          n)
       ∈ A) 
     supposing set-equal(T;as;bs)) supposing 
     ((∀x:A. (f[x;x] = x ∈ A)) and 
     Assoc(A;λx,y. f[x;y]) and 
     Comm(A;λx,y. f[x;y]))


Proof



Definitions occuring in Statement :  set-equal: set-equal(T;x;y),  list_accum: list_accum,  list: T List,  deq: EqDecider(T),  comm: Comm(T;op),  assoc: Assoc(T;op),  uimplies: b supposing a,  uall: ∀[x:A]. B[x],  so_apply: x[s1;s2],  so_apply: x[s],  all: ∀x:A. B[x],  lambda: λx.A[x],  function: x:A ⟶ B[x],  universe: Type,  equal: s = t ∈ T
Definitions unfolded in proof :  uall: ∀[x:A]. B[x],  member: t ∈ T,  uimplies: b supposing a,  prop: ℙ,  so_lambda: λ2x.t[x],  so_apply: x[s1;s2],  so_apply: x[s],  all: ∀x:A. B[x],  true: True,  squash: ↓T,  subtype_rel: A ⊆r B,  guard: {T},  iff: P ⇐⇒ Q,  and: P ∧ Q,  rev_implies: P ⇐ Q,  implies: P ⇒ Q,  set-equal: set-equal(T;x;y)
Lemmas referenced :  list_accum-remove-repeats,  set-equal_wf,  list_wf,  all_wf,  equal_wf,  assoc_wf,  comm_wf,  deq_wf,  list_accum_set-equal,  remove-repeats_wf,  remove-repeats-no_repeats,  squash_wf,  true_wf,  iff_weakening_equal,  member-remove-repeats,  l_member_wf,  iff_wf
Rules used in proof :  cut,  introduction,  extract_by_obid,  sqequalSubstitution,  sqequalTransitivity,  computationStep,  sqequalReflexivity,  isect_memberFormation,  hypothesis,  sqequalHypSubstitution,  isectElimination,  thin,  hypothesisEquality,  independent_isectElimination,  sqequalRule,  isect_memberEquality,  axiomEquality,  because_Cache,  cumulativity,  equalityTransitivity,  equalitySymmetry,  lambdaEquality,  applyEquality,  functionExtensionality,  functionEquality,  universeEquality,  natural_numberEquality,  dependent_functionElimination,  imageElimination,  imageMemberEquality,  baseClosed,  productElimination,  independent_functionElimination,  lambdaFormation,  addLevel,  independent_pairFormation,  impliesFunctionality
Latex:
\mforall{}[T:Type].  \mforall{}[eq:EqDecider(T)].  \mforall{}[A:Type].  \mforall{}[g:T  {}\mrightarrow{}  A].  \mforall{}[f:A  {}\mrightarrow{}  A  {}\mrightarrow{}  A].
    (\mforall{}[as,bs:T  List].
          \mforall{}[n:A]
              (accumulate  (with  value  a  and  list  item  z):
                  f[a;g[z]]
                over  list:
                    as
                with  starting  value:
                  n)
              =  accumulate  (with  value  a  and  list  item  z):
                    f[a;g[z]]
                  over  list:
                      bs
                  with  starting  value:
                    n)) 
          supposing  set-equal(T;as;bs))  supposing 
          ((\mforall{}x:A.  (f[x;x]  =  x))  and 
          Assoc(A;\mlambda{}x,y.  f[x;y])  and 
          Comm(A;\mlambda{}x,y.  f[x;y]))


Date html generated: 2017_04_17-AM-09_11_53
Last ObjectModification: 2017_02_27-PM-05_19_25

Theory : decidable!equality


Home Index