---

Step * of Lemma gcd-properties

No Annotations
∀a,b:ℤ.
  ((∃c:ℤ. ((c * gcd(a;b)) = a ∈ ℤ)) ∧ (∃d:ℤ. ((d * gcd(a;b)) = b ∈ ℤ)) ∧ (∃s,t:ℤ. (gcd(a;b) = ((s * a) + (t * b)) ∈ ℤ)))
BY
{ (TACTIC:(Assert  ⌜∀k:ℕ. ∀a,b:ℤ.
                      ((|b| ≤ k)
                      ⇒ ((∃c:ℤ. ((c * gcd(a;b)) = a ∈ ℤ))
                         ∧ (∃d:ℤ. ((d * gcd(a;b)) = b ∈ ℤ))
                         ∧ (∃s,t:ℤ. (gcd(a;b) = ((s * a) + (t * b)) ∈ ℤ))))⌝⋅
   THENM ((Auto THEN (Assert 0 ≤ |b| BY Auto)) THEN InstHyp [⌜|b|⌝;⌜a⌝;⌜b⌝] 1⋅ THEN Auto)
   )
   THEN (CompleteInductionOnNat THENA Auto)
   THEN (UnivCD THENA Auto)) }

1
1. k : ℕ
2. ∀k:ℕk. ∀a,b:ℤ.
     ((|b| ≤ k)
     ⇒ ((∃c:ℤ. ((c * gcd(a;b)) = a ∈ ℤ))
        ∧ (∃d:ℤ. ((d * gcd(a;b)) = b ∈ ℤ))
        ∧ (∃s,t:ℤ. (gcd(a;b) = ((s * a) + (t * b)) ∈ ℤ))))
3. a : ℤ
4. b : ℤ
5. |b| ≤ k
⊢ (∃c:ℤ. ((c * gcd(a;b)) = a ∈ ℤ)) ∧ (∃d:ℤ. ((d * gcd(a;b)) = b ∈ ℤ)) ∧ (∃s,t:ℤ. (gcd(a;b) = ((s * a) + (t * b)) ∈ ℤ))

---

Latex:

---

Latex:
No  Annotations
\mforall{}a,b:\mBbbZ{}.
    ((\mexists{}c:\mBbbZ{}.  ((c  *  gcd(a;b))  =  a))
    \mwedge{}  (\mexists{}d:\mBbbZ{}.  ((d  *  gcd(a;b))  =  b))
    \mwedge{}  (\mexists{}s,t:\mBbbZ{}.  (gcd(a;b)  =  ((s  *  a)  +  (t  *  b)))))


By

---

Latex:
(TACTIC:(Assert    \mkleeneopen{}\mforall{}k:\mBbbN{}.  \mforall{}a,b:\mBbbZ{}.
                                        ((|b|  \mleq{}  k)
                                        {}\mRightarrow{}  ((\mexists{}c:\mBbbZ{}.  ((c  *  gcd(a;b))  =  a))
                                              \mwedge{}  (\mexists{}d:\mBbbZ{}.  ((d  *  gcd(a;b))  =  b))
                                              \mwedge{}  (\mexists{}s,t:\mBbbZ{}.  (gcd(a;b)  =  ((s  *  a)  +  (t  *  b))))))\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THENM  ((Auto  THEN  (Assert  0  \mleq{}  |b|  BY  Auto))  THEN  InstHyp  [\mkleeneopen{}|b|\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}]  1\mcdot{}  THEN  Auto)
  )
  THEN  (CompleteInductionOnNat  THENA  Auto)
  THEN  (UnivCD  THENA  Auto))

---

Home Index