---

Step * 1 of Lemma gcd-properties


1. k : ℕ
2. ∀k:ℕk. ∀a,b:ℤ.
     ((|b| ≤ k)
     ⇒ ((∃c:ℤ. ((c * gcd(a;b)) = a ∈ ℤ))
        ∧ (∃d:ℤ. ((d * gcd(a;b)) = b ∈ ℤ))
        ∧ (∃s,t:ℤ. (gcd(a;b) = ((s * a) + (t * b)) ∈ ℤ))))
3. a : ℤ
4. b : ℤ
5. |b| ≤ k
⊢ (∃c:ℤ. ((c * gcd(a;b)) = a ∈ ℤ)) ∧ (∃d:ℤ. ((d * gcd(a;b)) = b ∈ ℤ)) ∧ (∃s,t:ℤ. (gcd(a;b) = ((s * a) + (t * b)) ∈ ℤ))
BY
{ (RecUnfold `gcd` 0 THEN (BoolCase ⌜(b =z 0)⌝⋅ THENA Auto)) }

1
1. k : ℕ
2. ∀k:ℕk. ∀a,b:ℤ.
     ((|b| ≤ k)
     ⇒ ((∃c:ℤ. ((c * gcd(a;b)) = a ∈ ℤ))
        ∧ (∃d:ℤ. ((d * gcd(a;b)) = b ∈ ℤ))
        ∧ (∃s,t:ℤ. (gcd(a;b) = ((s * a) + (t * b)) ∈ ℤ))))
3. a : ℤ
4. b : ℤ
5. |b| ≤ k
6. b = 0 ∈ ℤ
⊢ (∃c:ℤ. ((c * a) = a ∈ ℤ)) ∧ (∃d:ℤ. ((d * a) = b ∈ ℤ)) ∧ (∃s,t:ℤ. (a = ((s * a) + (t * b)) ∈ ℤ))

2
1. k : ℕ
2. ∀k:ℕk. ∀a,b:ℤ.
     ((|b| ≤ k)
     ⇒ ((∃c:ℤ. ((c * gcd(a;b)) = a ∈ ℤ))
        ∧ (∃d:ℤ. ((d * gcd(a;b)) = b ∈ ℤ))
        ∧ (∃s,t:ℤ. (gcd(a;b) = ((s * a) + (t * b)) ∈ ℤ))))
3. a : ℤ
4. b : ℤ
5. b ≠ 0
6. |b| ≤ k
⊢ (∃c:ℤ. ((c * gcd(b;a rem b)) = a ∈ ℤ))
∧ (∃d:ℤ. ((d * gcd(b;a rem b)) = b ∈ ℤ))
∧ (∃s,t:ℤ. (gcd(b;a rem b) = ((s * a) + (t * b)) ∈ ℤ))

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  \mforall{}k:\mBbbN{}k.  \mforall{}a,b:\mBbbZ{}.
          ((|b|  \mleq{}  k)
          {}\mRightarrow{}  ((\mexists{}c:\mBbbZ{}.  ((c  *  gcd(a;b))  =  a))
                \mwedge{}  (\mexists{}d:\mBbbZ{}.  ((d  *  gcd(a;b))  =  b))
                \mwedge{}  (\mexists{}s,t:\mBbbZ{}.  (gcd(a;b)  =  ((s  *  a)  +  (t  *  b))))))
3.  a  :  \mBbbZ{}
4.  b  :  \mBbbZ{}
5.  |b|  \mleq{}  k
\mvdash{}  (\mexists{}c:\mBbbZ{}.  ((c  *  gcd(a;b))  =  a))
\mwedge{}  (\mexists{}d:\mBbbZ{}.  ((d  *  gcd(a;b))  =  b))
\mwedge{}  (\mexists{}s,t:\mBbbZ{}.  (gcd(a;b)  =  ((s  *  a)  +  (t  *  b))))


By

---

Latex:
(RecUnfold  `gcd`  0  THEN  (BoolCase  \mkleeneopen{}(b  =\msubz{}  0)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index