---

Step * 1 1 of Lemma not-all-int_seg2

.....assertion..... 
1. i : ℤ
2. j : ℤ
3. [P] : {i..j-} ⟶ ℙ
4. [Q] : {i..j-} ⟶ ℙ
5. ∀x:{i..j-}. (P[x] ∨ Q[x])
6. ¬(∀x:{i..j-}. P[x])
⊢ ∀d:ℕ. ∀i,j:ℤ.
    (j < i + d ⇒ (∀[P,Q:{i..j-} ⟶ ℙ].  ((∀x:{i..j-}. (P[x] ∨ Q[x])) ⇒ (¬(∀x:{i..j-}. P[x])) ⇒ (∃x:{i..j-}. Q[x]))))
BY
{ (All Thin THEN InductionOnNat) }

1
.....basecase..... 
∀i,j:ℤ.
  (j < i + 0 ⇒ (∀[P,Q:{i..j-} ⟶ ℙ].  ((∀x:{i..j-}. (P[x] ∨ Q[x])) ⇒ (¬(∀x:{i..j-}. P[x])) ⇒ (∃x:{i..j-}. Q[x]))))

2
.....upcase..... 
1. d : ℤ
2. [%1] : 0 < d
3. ∀i,j:ℤ.
     (j < i + (d - 1)
     ⇒ (∀[P,Q:{i..j-} ⟶ ℙ].  ((∀x:{i..j-}. (P[x] ∨ Q[x])) ⇒ (¬(∀x:{i..j-}. P[x])) ⇒ (∃x:{i..j-}. Q[x]))))
⊢ ∀i,j:ℤ.
    (j < i + d ⇒ (∀[P,Q:{i..j-} ⟶ ℙ].  ((∀x:{i..j-}. (P[x] ∨ Q[x])) ⇒ (¬(∀x:{i..j-}. P[x])) ⇒ (∃x:{i..j-}. Q[x]))))

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  i  :  \mBbbZ{}
2.  j  :  \mBbbZ{}
3.  [P]  :  \{i..j\msupminus{}\}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
4.  [Q]  :  \{i..j\msupminus{}\}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
5.  \mforall{}x:\{i..j\msupminus{}\}.  (P[x]  \mvee{}  Q[x])
6.  \mneg{}(\mforall{}x:\{i..j\msupminus{}\}.  P[x])
\mvdash{}  \mforall{}d:\mBbbN{}.  \mforall{}i,j:\mBbbZ{}.
        (j  <  i  +  d
        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}[P,Q:\{i..j\msupminus{}\}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].
                    ((\mforall{}x:\{i..j\msupminus{}\}.  (P[x]  \mvee{}  Q[x]))  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(\mforall{}x:\{i..j\msupminus{}\}.  P[x]))  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}x:\{i..j\msupminus{}\}.  Q[x]))))


By

---

Latex:
(All  Thin  THEN  InductionOnNat)

---

Home Index