---

Step * 2 1 of Lemma member_filter_2


1. [T] : Type
2. u : T
3. v : T List
4. ∀P:{x:T| (x ∈ v)}  ⟶ 𝔹. ∀x:T.  ((x ∈ filter(P;v)) ⇐⇒ (x ∈ v) ∧ (↑(P x)))
5. P : {x:T| (x ∈ [u / v])}  ⟶ 𝔹
6. ∀x:T. ((x ∈ filter(P;v)) ⇐⇒ (x ∈ v) ∧ (↑(P x)))
7. x : T
8. (x ∈ filter(P;v)) ⇐⇒ (x ∈ v) ∧ (↑(P x))
⊢ (x ∈ if P u then [u / filter(P;v)] else filter(P;v) fi ) ⇐⇒ (x ∈ [u / v]) ∧ (↑(P x))
BY
{ ((Assert u ∈ {x:T| (x ∈ [u / v])}  BY (MemTypeCD THEN Auto)) THEN (BoolCase ⌜P u⌝⋅ THENA Auto)) }

1
1. [T] : Type
2. u : T
3. v : T List
4. ∀P:{x:T| (x ∈ v)}  ⟶ 𝔹. ∀x:T.  ((x ∈ filter(P;v)) ⇐⇒ (x ∈ v) ∧ (↑(P x)))
5. P : {x:T| (x ∈ [u / v])}  ⟶ 𝔹
6. ∀x:T. ((x ∈ filter(P;v)) ⇐⇒ (x ∈ v) ∧ (↑(P x)))
7. x : T
8. (x ∈ filter(P;v)) ⇐⇒ (x ∈ v) ∧ (↑(P x))
9. u ∈ {x:T| (x ∈ [u / v])} 
10. ↑(P u)
⊢ (x ∈ [u / filter(P;v)]) ⇐⇒ (x ∈ [u / v]) ∧ (↑(P x))

2
1. [T] : Type
2. u : T
3. v : T List
4. ∀P:{x:T| (x ∈ v)}  ⟶ 𝔹. ∀x:T.  ((x ∈ filter(P;v)) ⇐⇒ (x ∈ v) ∧ (↑(P x)))
5. P : {x:T| (x ∈ [u / v])}  ⟶ 𝔹
6. ¬↑(P u)
7. ∀x:T. ((x ∈ filter(P;v)) ⇐⇒ (x ∈ v) ∧ (↑(P x)))
8. x : T
9. (x ∈ filter(P;v)) ⇐⇒ (x ∈ v) ∧ (↑(P x))
10. u ∈ {x:T| (x ∈ [u / v])} 
⊢ (x ∈ filter(P;v)) ⇐⇒ (x ∈ [u / v]) ∧ (↑(P x))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  u  :  T
3.  v  :  T  List
4.  \mforall{}P:\{x:T|  (x  \mmember{}  v)\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mforall{}x:T.    ((x  \mmember{}  filter(P;v))  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (x  \mmember{}  v)  \mwedge{}  (\muparrow{}(P  x)))
5.  P  :  \{x:T|  (x  \mmember{}  [u  /  v])\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
6.  \mforall{}x:T.  ((x  \mmember{}  filter(P;v))  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (x  \mmember{}  v)  \mwedge{}  (\muparrow{}(P  x)))
7.  x  :  T
8.  (x  \mmember{}  filter(P;v))  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (x  \mmember{}  v)  \mwedge{}  (\muparrow{}(P  x))
\mvdash{}  (x  \mmember{}  if  P  u  then  [u  /  filter(P;v)]  else  filter(P;v)  fi  )  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (x  \mmember{}  [u  /  v])  \mwedge{}  (\muparrow{}(P  x))


By

---

Latex:
((Assert  u  \mmember{}  \{x:T|  (x  \mmember{}  [u  /  v])\}    BY  (MemTypeCD  THEN  Auto))  THEN  (BoolCase  \mkleeneopen{}P  u\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index