---

Step * 1 2 2 1 of Lemma permutation-sign-flip


1. n : ℕ
2. ∀[f:{f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} ]. ∀[u:ℕn - 1].  (permutation-sign(n;f o (u, u + 1)) = (-permutation-sign(n;f)) ∈ ℤ)
3. d : ℤ
4. 0 < d
5. ∀[f:{f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} ]. ∀[u,v:ℕn].
     permutation-sign(n;f o (u, v)) = (-permutation-sign(n;f)) ∈ ℤ supposing (¬(u = v ∈ ℤ)) ∧ (|u - v| ≤ ((d - 1) + 1))
6. ∀[f:{f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} ]. ∀[u,v:ℕn].
     permutation-sign(n;f o (u, v)) = (-permutation-sign(n;f)) ∈ ℤ supposing u < v ∧ (|u - v| ≤ (d + 1))
7. f : {f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} 
8. ∀[u,v:ℕn].  permutation-sign(n;f o (u, v)) = (-permutation-sign(n;f)) ∈ ℤ supposing u < v ∧ (|u - v| ≤ (d + 1))
9. u : ℕn
10. v : ℕn
11. ¬(u = v ∈ ℤ)
12. |u - v| ≤ (d + 1)
13. ¬u < v
⊢ permutation-sign(n;f o (u, v)) = (-permutation-sign(n;f)) ∈ ℤ
BY
{ (Subst' (u, v) = (v, u) ∈ (ℕn ⟶ ℕn) 0 THENA Auto) }

1
1. n : ℕ
2. ∀[f:{f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} ]. ∀[u:ℕn - 1].  (permutation-sign(n;f o (u, u + 1)) = (-permutation-sign(n;f)) ∈ ℤ)
3. d : ℤ
4. 0 < d
5. ∀[f:{f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} ]. ∀[u,v:ℕn].
     permutation-sign(n;f o (u, v)) = (-permutation-sign(n;f)) ∈ ℤ supposing (¬(u = v ∈ ℤ)) ∧ (|u - v| ≤ ((d - 1) + 1))
6. ∀[f:{f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} ]. ∀[u,v:ℕn].
     permutation-sign(n;f o (u, v)) = (-permutation-sign(n;f)) ∈ ℤ supposing u < v ∧ (|u - v| ≤ (d + 1))
7. f : {f:ℕn ⟶ ℕn| Inj(ℕn;ℕn;f)} 
8. ∀[u,v:ℕn].  permutation-sign(n;f o (u, v)) = (-permutation-sign(n;f)) ∈ ℤ supposing u < v ∧ (|u - v| ≤ (d + 1))
9. u : ℕn
10. v : ℕn
11. ¬(u = v ∈ ℤ)
12. |u - v| ≤ (d + 1)
13. ¬u < v
⊢ permutation-sign(n;f o (v, u)) = (-permutation-sign(n;f)) ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  \mforall{}[f:\{f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n|  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}n;f)\}  ].  \mforall{}[u:\mBbbN{}n  -  1].
          (permutation-sign(n;f  o  (u,  u  +  1))  =  (-permutation-sign(n;f)))
3.  d  :  \mBbbZ{}
4.  0  <  d
5.  \mforall{}[f:\{f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n|  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}n;f)\}  ].  \mforall{}[u,v:\mBbbN{}n].
          permutation-sign(n;f  o  (u,  v))  =  (-permutation-sign(n;f)) 
          supposing  (\mneg{}(u  =  v))  \mwedge{}  (|u  -  v|  \mleq{}  ((d  -  1)  +  1))
6.  \mforall{}[f:\{f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n|  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}n;f)\}  ].  \mforall{}[u,v:\mBbbN{}n].
          permutation-sign(n;f  o  (u,  v))  =  (-permutation-sign(n;f))  supposing  u  <  v  \mwedge{}  (|u  -  v|  \mleq{}  (d  +  1))
7.  f  :  \{f:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n|  Inj(\mBbbN{}n;\mBbbN{}n;f)\} 
8.  \mforall{}[u,v:\mBbbN{}n].
          permutation-sign(n;f  o  (u,  v))  =  (-permutation-sign(n;f))  supposing  u  <  v  \mwedge{}  (|u  -  v|  \mleq{}  (d  +  1))
9.  u  :  \mBbbN{}n
10.  v  :  \mBbbN{}n
11.  \mneg{}(u  =  v)
12.  |u  -  v|  \mleq{}  (d  +  1)
13.  \mneg{}u  <  v
\mvdash{}  permutation-sign(n;f  o  (u,  v))  =  (-permutation-sign(n;f))


By

---

Latex:
(Subst'  (u,  v)  =  (v,  u)  0  THENA  Auto)

---

Home Index