---

Step * of Lemma sum-of-three-cubes-iff

∀k:ℕ
  (∃a,b,c:ℤ. (((a * a * a) + (b * b * b) + (c * c * c)) = k ∈ ℤ)
  ⇐⇒ ∃d,n:ℕ
       ((↑is_power(3;((2 * d) * ((d * d) + (3 * n * n))) - k))
       ∨ (↑is_power(3;(((2 * d) + 1) * (((d * (d + 1)) + (3 * n * (n + 1))) + 1)) - k))))
BY
{ (InstLemma `sum-of-three-cubes-iff-4` [] THEN RepeatFor 2 (ParallelLast') THEN ExRepD) }

1
1. k : ℕ
2. a : ℤ
3. b : ℤ
4. c1 : ℤ
5. ((a * a * a) + (b * b * b) + (c1 * c1 * c1)) = k ∈ ℤ
6. d : ℕ
7. n : ℕ
8. ((d * d) + (3 * n * n) rem 4) = 0 ∈ ℤ
9. c : ℤ
10. ((d * (((d * d) + (3 * n * n)) ÷ 4)) - k) = (c * c * c) ∈ ℤ
⊢ ∃d,n:ℕ
   ((↑is_power(3;((2 * d) * ((d * d) + (3 * n * n))) - k))
   ∨ (↑is_power(3;(((2 * d) + 1) * (((d * (d + 1)) + (3 * n * (n + 1))) + 1)) - k)))

2
1. k : ℕ
2. d : ℕ
3. n : ℕ
4. (↑is_power(3;((2 * d) * ((d * d) + (3 * n * n))) - k))
∨ (↑is_power(3;(((2 * d) + 1) * (((d * (d + 1)) + (3 * n * (n + 1))) + 1)) - k))
⊢ ∃d,n:ℕ
   ((((d * d) + (3 * n * n) rem 4) = 0 ∈ ℤ) ∧ (∃c:ℤ. (((d * (((d * d) + (3 * n * n)) ÷ 4)) - k) = (c * c * c) ∈ ℤ)))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}k:\mBbbN{}
    (\mexists{}a,b,c:\mBbbZ{}.  (((a  *  a  *  a)  +  (b  *  b  *  b)  +  (c  *  c  *  c))  =  k)
    \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}d,n:\mBbbN{}
              ((\muparrow{}is\_power(3;((2  *  d)  *  ((d  *  d)  +  (3  *  n  *  n)))  -  k))
              \mvee{}  (\muparrow{}is\_power(3;(((2  *  d)  +  1)  *  (((d  *  (d  +  1))  +  (3  *  n  *  (n  +  1)))  +  1))  -  k))))


By

---

Latex:
(InstLemma  `sum-of-three-cubes-iff-4`  []  THEN  RepeatFor  2  (ParallelLast')  THEN  ExRepD)

---

Home Index