---

Step * 1 of Lemma sum-of-three-cubes-iff


1. k : ℕ
2. a : ℤ
3. b : ℤ
4. c1 : ℤ
5. ((a * a * a) + (b * b * b) + (c1 * c1 * c1)) = k ∈ ℤ
6. d : ℕ
7. n : ℕ
8. ((d * d) + (3 * n * n) rem 4) = 0 ∈ ℤ
9. c : ℤ
10. ((d * (((d * d) + (3 * n * n)) ÷ 4)) - k) = (c * c * c) ∈ ℤ
⊢ ∃d,n:ℕ
   ((↑is_power(3;((2 * d) * ((d * d) + (3 * n * n))) - k))
   ∨ (↑is_power(3;(((2 * d) + 1) * (((d * (d + 1)) + (3 * n * (n + 1))) + 1)) - k)))
BY
{ (((InstLemma `mod2-cases` [⌜d⌝]⋅ THENA Auto) THEN (RWO "mod2-is-zero mod2-is-one" (-1) THENA Auto))
   THEN (InstLemma `mod2-cases` [⌜n⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (RWO "mod2-is-zero mod2-is-one" (-1) THENA Auto)
   THEN SplitOrHyps
   THEN ExRepD
   THEN (Assert 0 ≤ n1 BY
               Auto)
   THEN (Assert 0 ≤ n2 BY
               Auto)
   THEN Eliminate ⌜d⌝⋅
   THEN Eliminate ⌜n⌝⋅
   THEN ThinVar `n'
   THEN ThinVar `d'
   THEN RenameVar `n' 1
   THEN RenameVar `d' 2) }

1
1. n : ℤ
2. d : ℤ
3. k : ℕ
4. a : ℤ
5. b : ℤ
6. c1 : ℤ
7. ((a * a * a) + (b * b * b) + (c1 * c1 * c1)) = k ∈ ℤ
8. (((2 * d) * 2 * d) + (3 * (2 * n) * 2 * n) rem 4) = 0 ∈ ℤ
9. c : ℤ
10. (((2 * d) * ((((2 * d) * 2 * d) + (3 * (2 * n) * 2 * n)) ÷ 4)) - k) = (c * c * c) ∈ ℤ
11. 0 ≤ n
12. 0 ≤ d
⊢ ∃d,n:ℕ
   ((↑is_power(3;((2 * d) * ((d * d) + (3 * n * n))) - k))
   ∨ (↑is_power(3;(((2 * d) + 1) * (((d * (d + 1)) + (3 * n * (n + 1))) + 1)) - k)))

2
1. n : ℤ
2. d : ℤ
3. k : ℕ
4. a : ℤ
5. b : ℤ
6. c1 : ℤ
7. ((a * a * a) + (b * b * b) + (c1 * c1 * c1)) = k ∈ ℤ
8. ((((2 * d) + 1) * ((2 * d) + 1)) + (3 * (2 * n) * 2 * n) rem 4) = 0 ∈ ℤ
9. c : ℤ
10. ((((2 * d) + 1) * (((((2 * d) + 1) * ((2 * d) + 1)) + (3 * (2 * n) * 2 * n)) ÷ 4)) - k) = (c * c * c) ∈ ℤ
11. 0 ≤ n
12. 0 ≤ d
⊢ ∃d,n:ℕ
   ((↑is_power(3;((2 * d) * ((d * d) + (3 * n * n))) - k))
   ∨ (↑is_power(3;(((2 * d) + 1) * (((d * (d + 1)) + (3 * n * (n + 1))) + 1)) - k)))

3
1. n : ℤ
2. d : ℤ
3. k : ℕ
4. a : ℤ
5. b : ℤ
6. c1 : ℤ
7. ((a * a * a) + (b * b * b) + (c1 * c1 * c1)) = k ∈ ℤ
8. (((2 * d) * 2 * d) + (3 * ((2 * n) + 1) * ((2 * n) + 1)) rem 4) = 0 ∈ ℤ
9. c : ℤ
10. (((2 * d) * ((((2 * d) * 2 * d) + (3 * ((2 * n) + 1) * ((2 * n) + 1))) ÷ 4)) - k) = (c * c * c) ∈ ℤ
11. 0 ≤ n
12. 0 ≤ d
⊢ ∃d,n:ℕ
   ((↑is_power(3;((2 * d) * ((d * d) + (3 * n * n))) - k))
   ∨ (↑is_power(3;(((2 * d) + 1) * (((d * (d + 1)) + (3 * n * (n + 1))) + 1)) - k)))

4
1. n : ℤ
2. d : ℤ
3. k : ℕ
4. a : ℤ
5. b : ℤ
6. c1 : ℤ
7. ((a * a * a) + (b * b * b) + (c1 * c1 * c1)) = k ∈ ℤ
8. ((((2 * d) + 1) * ((2 * d) + 1)) + (3 * ((2 * n) + 1) * ((2 * n) + 1)) rem 4) = 0 ∈ ℤ
9. c : ℤ
10. ((((2 * d) + 1) * (((((2 * d) + 1) * ((2 * d) + 1)) + (3 * ((2 * n) + 1) * ((2 * n) + 1))) ÷ 4)) - k)
= (c * c * c)
∈ ℤ
11. 0 ≤ n
12. 0 ≤ d
⊢ ∃d,n:ℕ
   ((↑is_power(3;((2 * d) * ((d * d) + (3 * n * n))) - k))
   ∨ (↑is_power(3;(((2 * d) + 1) * (((d * (d + 1)) + (3 * n * (n + 1))) + 1)) - k)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  a  :  \mBbbZ{}
3.  b  :  \mBbbZ{}
4.  c1  :  \mBbbZ{}
5.  ((a  *  a  *  a)  +  (b  *  b  *  b)  +  (c1  *  c1  *  c1))  =  k
6.  d  :  \mBbbN{}
7.  n  :  \mBbbN{}
8.  ((d  *  d)  +  (3  *  n  *  n)  rem  4)  =  0
9.  c  :  \mBbbZ{}
10.  ((d  *  (((d  *  d)  +  (3  *  n  *  n))  \mdiv{}  4))  -  k)  =  (c  *  c  *  c)
\mvdash{}  \mexists{}d,n:\mBbbN{}
      ((\muparrow{}is\_power(3;((2  *  d)  *  ((d  *  d)  +  (3  *  n  *  n)))  -  k))
      \mvee{}  (\muparrow{}is\_power(3;(((2  *  d)  +  1)  *  (((d  *  (d  +  1))  +  (3  *  n  *  (n  +  1)))  +  1))  -  k)))


By

---

Latex:
(((InstLemma  `mod2-cases`  [\mkleeneopen{}d\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)  THEN  (RWO  "mod2-is-zero  mod2-is-one"  (-1)  THENA  Auto))
  THEN  (InstLemma  `mod2-cases`  [\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "mod2-is-zero  mod2-is-one"  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  SplitOrHyps
  THEN  ExRepD
  THEN  (Assert  0  \mleq{}  n1  BY
                          Auto)
  THEN  (Assert  0  \mleq{}  n2  BY
                          Auto)
  THEN  Eliminate  \mkleeneopen{}d\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  Eliminate  \mkleeneopen{}n\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  ThinVar  `n'
  THEN  ThinVar  `d'
  THEN  RenameVar  `n'  1
  THEN  RenameVar  `d'  2)

---

Home Index