---

Step * 1 4 of Lemma sum-of-three-cubes-iff


1. n : ℤ
2. d : ℤ
3. k : ℕ
4. a : ℤ
5. b : ℤ
6. c1 : ℤ
7. ((a * a * a) + (b * b * b) + (c1 * c1 * c1)) = k ∈ ℤ
8. ((((2 * d) + 1) * ((2 * d) + 1)) + (3 * ((2 * n) + 1) * ((2 * n) + 1)) rem 4) = 0 ∈ ℤ
9. c : ℤ
10. ((((2 * d) + 1) * (((((2 * d) + 1) * ((2 * d) + 1)) + (3 * ((2 * n) + 1) * ((2 * n) + 1))) ÷ 4)) - k)
= (c * c * c)
∈ ℤ
11. 0 ≤ n
12. 0 ≤ d
⊢ ∃d,n:ℕ
   ((↑is_power(3;((2 * d) * ((d * d) + (3 * n * n))) - k))
   ∨ (↑is_power(3;(((2 * d) + 1) * (((d * (d + 1)) + (3 * n * (n + 1))) + 1)) - k)))
BY
{ ((Subst' (((2 * d) + 1) * ((2 * d) + 1)) + (3 * ((2 * n) + 1) * ((2 * n) + 1)) ~ 4
    * (((d * (d + 1)) + (3 * n * (n + 1))) + 1) -3
    THENA Auto
    )
   THEN (Subst' (4 * (((d * (d + 1)) + (3 * n * (n + 1))) + 1)) ÷ 4 ~ ((d * (d + 1)) + (3 * n * (n + 1))) + 1 -5
         THENA Auto
         )
   THEN (InstConcl [⌜d⌝;⌜n⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (OrRight THENA Auto)) }

1
1. n : ℤ
2. d : ℤ
3. k : ℕ
4. a : ℤ
5. b : ℤ
6. c1 : ℤ
7. ((a * a * a) + (b * b * b) + (c1 * c1 * c1)) = k ∈ ℤ
8. ((((2 * d) + 1) * ((2 * d) + 1)) + (3 * ((2 * n) + 1) * ((2 * n) + 1)) rem 4) = 0 ∈ ℤ
9. c : ℤ
10. ((((2 * d) + 1) * ((4 * (((d * (d + 1)) + (3 * n * (n + 1))) + 1)) ÷ 4)) - k) = (c * c * c) ∈ ℤ
11. 0 ≤ n
12. 0 ≤ d
⊢ ↑is_power(3;(((2 * d) + 1) * (((d * (d + 1)) + (3 * n * (n + 1))) + 1)) - k)

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbZ{}
2.  d  :  \mBbbZ{}
3.  k  :  \mBbbN{}
4.  a  :  \mBbbZ{}
5.  b  :  \mBbbZ{}
6.  c1  :  \mBbbZ{}
7.  ((a  *  a  *  a)  +  (b  *  b  *  b)  +  (c1  *  c1  *  c1))  =  k
8.  ((((2  *  d)  +  1)  *  ((2  *  d)  +  1))  +  (3  *  ((2  *  n)  +  1)  *  ((2  *  n)  +  1))  rem  4)  =  0
9.  c  :  \mBbbZ{}
10.  ((((2  *  d)  +  1)
*  (((((2  *  d)  +  1)  *  ((2  *  d)  +  1))  +  (3  *  ((2  *  n)  +  1)  *  ((2  *  n)  +  1)))  \mdiv{}  4))  -  k)
=  (c  *  c  *  c)
11.  0  \mleq{}  n
12.  0  \mleq{}  d
\mvdash{}  \mexists{}d,n:\mBbbN{}
      ((\muparrow{}is\_power(3;((2  *  d)  *  ((d  *  d)  +  (3  *  n  *  n)))  -  k))
      \mvee{}  (\muparrow{}is\_power(3;(((2  *  d)  +  1)  *  (((d  *  (d  +  1))  +  (3  *  n  *  (n  +  1)))  +  1))  -  k)))


By

---

Latex:
((Subst'  (((2  *  d)  +  1)  *  ((2  *  d)  +  1))  +  (3  *  ((2  *  n)  +  1)  *  ((2  *  n)  +  1))  \msim{}  4
    *  (((d  *  (d  +  1))  +  (3  *  n  *  (n  +  1)))  +  1)  -3
    THENA  Auto
    )
  THEN  (Subst'  (4  *  (((d  *  (d  +  1))  +  (3  *  n  *  (n  +  1)))  +  1))  \mdiv{}  4  \msim{}  ((d  *  (d  +  1))
              +  (3  *  n  *  (n  +  1)))
              +  1  -5
              THENA  Auto
              )
  THEN  (InstConcl  [\mkleeneopen{}d\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (OrRight  THENA  Auto))

---

Home Index