---

Step * 1 1 1 1 1 of Lemma unsat-omega_step


1. n : ℕ
2. eqs : {L:ℤ List| ||L|| = (n + 1) ∈ ℤ}  List
3. ineqs : {L:ℤ List| ||L|| = (n + 1) ∈ ℤ}  List
4. ¬if eqs = Ax then if ineqs = Ax then 0 otherwise ||hd(ineqs)|| - 1 otherwise ||hd(eqs)|| - 1 < 1
5. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
6. first-success(λL.find-exact-eq-constraint(L);eqs) ∈ i:ℕ||eqs||
   × x:{x:ℤ List| x = eqs[i] ∈ (ℤ List)} 
   × {i@0:ℕ+||eqs[i]||| |eqs[i][i@0]| = 1 ∈ ℤ} ?
7. i : ℕ||eqs||
8. x : {x:ℤ List| x = eqs[i] ∈ (ℤ List)} 
9. x4 : {i@0:ℕ+||eqs[i]||| |eqs[i][i@0]| = 1 ∈ ℤ} 
10. first-success(λL.find-exact-eq-constraint(L);eqs)
= (inl <i, x, x4>)
∈ (i:ℕ||eqs|| × x:{x:ℤ List| x = eqs[i] ∈ (ℤ List)}  × {i@0:ℕ+||eqs[i]||| |eqs[i][i@0]| = 1 ∈ ℤ} ?)
11. |x[x4]| = 1 ∈ ℤ
12. neweqs : {L:ℤ List| ||L|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ}  List
13. exact-reduce-constraints(eqs[i];x4;eqs) = neweqs ∈ ({L:ℤ List| ||L|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ}  List)
14. newineqs : {L:ℤ List| ||L|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ}  List
15. exact-reduce-constraints(eqs[i];x4;ineqs) = newineqs ∈ ({L:ℤ List| ||L|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ}  List)
16. xs : ℤ List
17. (∀as∈neweqs.xs ⋅ as =0)
18. (∀bs∈newineqs.xs ⋅ bs ≥0)
⊢ unsat(case gcd-reduce-eq-constraints([];neweqs)
 of inl(eqs') =>
 case gcd-reduce-ineq-constraints([];newineqs) of inl(ineqs') => inl <eqs', ineqs'> | inr(x) => inr x 
 | inr(x) =>
 inr x )
⇒ False
BY
{ xxx(ThinVar `x4' THEN ThinVar `x' THEN ThinVar `i' THEN Thin 6 THEN Thin 4 THEN RepeatFor 2 (Thin 2))xxx }

1
1. n : ℕ
2. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
3. neweqs : {L:ℤ List| ||L|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ}  List
4. newineqs : {L:ℤ List| ||L|| = ((n - 1) + 1) ∈ ℤ}  List
5. xs : ℤ List
6. (∀as∈neweqs.xs ⋅ as =0)
7. (∀bs∈newineqs.xs ⋅ bs ≥0)
⊢ unsat(case gcd-reduce-eq-constraints([];neweqs)
 of inl(eqs') =>
 case gcd-reduce-ineq-constraints([];newineqs) of inl(ineqs') => inl <eqs', ineqs'> | inr(x) => inr x 
 | inr(x) =>
 inr x )
⇒ False

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  eqs  :  \{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  (n  +  1)\}    List
3.  ineqs  :  \{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  (n  +  1)\}    List
4.  \mneg{}if  eqs  =  Ax  then  if  ineqs  =  Ax  then  0  otherwise  ||hd(ineqs)||  -  1  otherwise  ||hd(eqs)||  -  1  <  1
5.  \mneg{}(n  =  0)
6.  first-success(\mlambda{}L.find-exact-eq-constraint(L);eqs)  \mmember{}  i:\mBbbN{}||eqs||
      \mtimes{}  x:\{x:\mBbbZ{}  List|  x  =  eqs[i]\} 
      \mtimes{}  \{i@0:\mBbbN{}\msupplus{}||eqs[i]|||  |eqs[i][i@0]|  =  1\}  ?
7.  i  :  \mBbbN{}||eqs||
8.  x  :  \{x:\mBbbZ{}  List|  x  =  eqs[i]\} 
9.  x4  :  \{i@0:\mBbbN{}\msupplus{}||eqs[i]|||  |eqs[i][i@0]|  =  1\} 
10.  first-success(\mlambda{}L.find-exact-eq-constraint(L);eqs)  =  (inl  <i,  x,  x4>)
11.  |x[x4]|  =  1
12.  neweqs  :  \{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  ((n  -  1)  +  1)\}    List
13.  exact-reduce-constraints(eqs[i];x4;eqs)  =  neweqs
14.  newineqs  :  \{L:\mBbbZ{}  List|  ||L||  =  ((n  -  1)  +  1)\}    List
15.  exact-reduce-constraints(eqs[i];x4;ineqs)  =  newineqs
16.  xs  :  \mBbbZ{}  List
17.  (\mforall{}as\mmember{}neweqs.xs  \mcdot{}  as  =0)
18.  (\mforall{}bs\mmember{}newineqs.xs  \mcdot{}  bs  \mgeq{}0)
\mvdash{}  unsat(case  gcd-reduce-eq-constraints([];neweqs)
  of  inl(eqs')  =>
  case  gcd-reduce-ineq-constraints([];newineqs)  of  inl(ineqs')  =>  inl  <eqs',  ineqs'>  |  inr(x)  =>  inr  \000Cx 
  |  inr(x)  =>
  inr  x  )
{}\mRightarrow{}  False


By

---

Latex:
xxx(ThinVar  `x4'
        THEN  ThinVar  `x'
        THEN  ThinVar  `i'
        THEN  Thin  6
        THEN  Thin  4
        THEN  RepeatFor  2  (Thin  2))xxx

---

Home Index