---

Step * 1 2 of Lemma bag-summation-partitions-primes-general


1. r : CRng
2. h : ℕ+ ⟶ ℕ+ ⟶ |r|
3. b : bag(Prime)
4. IntDeq ∈ EqDecider(Prime)
⊢ Σ(x∈bag-map(λp.<Π(fst(p)), Π(snd(p))>;bag-partitions(IntDeq;b))). h[fst(x);snd(x)]
= Σ(i∈[1, Π(b) + 1)). if (Π(b) rem i =z 0) then h[i;Π(b) ÷ i] else 0 fi 
∈ |r|
BY
{ xxxSubst ⌜bag-map(λp.<Π(fst(p)), Π(snd(p))>;bag-partitions(IntDeq;b))
            = mapfilter(λi.<i, Π(b) ÷ i>;λi.(Π(b) rem i =z 0);[1, Π(b) + 1))
            ∈ bag(ℕ+ × ℕ+)⌝ 0⋅xxx }

1
.....equality..... 
1. r : CRng
2. h : ℕ+ ⟶ ℕ+ ⟶ |r|
3. b : bag(Prime)
4. IntDeq ∈ EqDecider(Prime)
⊢ bag-map(λp.<Π(fst(p)), Π(snd(p))>;bag-partitions(IntDeq;b))
= mapfilter(λi.<i, Π(b) ÷ i>;λi.(Π(b) rem i =z 0);[1, Π(b) + 1))
∈ bag(ℕ+ × ℕ+)

2
1. r : CRng
2. h : ℕ+ ⟶ ℕ+ ⟶ |r|
3. b : bag(Prime)
4. IntDeq ∈ EqDecider(Prime)
⊢ Σ(x∈mapfilter(λi.<i, Π(b) ÷ i>;λi.(Π(b) rem i =z 0);[1, Π(b) + 1))). h[fst(x);snd(x)]
= Σ(i∈[1, Π(b) + 1)). if (Π(b) rem i =z 0) then h[i;Π(b) ÷ i] else 0 fi 
∈ |r|

3
.....wf..... 
1. r : CRng
2. h : ℕ+ ⟶ ℕ+ ⟶ |r|
3. b : bag(Prime)
4. IntDeq ∈ EqDecider(Prime)
5. z : bag(ℕ+ × ℕ+)
⊢ Σ(x∈z). h[fst(x);snd(x)] = Σ(i∈[1, Π(b) + 1)). if (Π(b) rem i =z 0) then h[i;Π(b) ÷ i] else 0 fi  ∈ |r| ∈ ℙ

---

Latex:

---

Latex:

1.  r  :  CRng
2.  h  :  \mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  |r|
3.  b  :  bag(Prime)
4.  IntDeq  \mmember{}  EqDecider(Prime)
\mvdash{}  \mSigma{}(x\mmember{}bag-map(\mlambda{}p.<\mPi{}(fst(p)),  \mPi{}(snd(p))>bag-partitions(IntDeq;b))).  h[fst(x);snd(x)]
=  \mSigma{}(i\mmember{}[1,  \mPi{}(b)  +  1)).  if  (\mPi{}(b)  rem  i  =\msubz{}  0)  then  h[i;\mPi{}(b)  \mdiv{}  i]  else  0  fi 


By

---

Latex:
xxxSubst  \mkleeneopen{}bag-map(\mlambda{}p.<\mPi{}(fst(p)),  \mPi{}(snd(p))>bag-partitions(IntDeq;b))
                    =  mapfilter(\mlambda{}i.<i,  \mPi{}(b)  \mdiv{}  i>\mlambda{}i.(\mPi{}(b)  rem  i  =\msubz{}  0);[1,  \mPi{}(b)  +  1))\mkleeneclose{}  0\mcdot{}xxx

---

Home Index