---

Step * 1 1 1 1 1 1 1 of Lemma Euler-Fermat

.....assertion..... 
1. n : {2...}
2. a : ℕ+
3. CoPrime(n,a)
4. Πx ∈ map(λi.(ai mod n);residues-mod(n)). x = Πx ∈ residues-mod(n). x ∈ ℤ
5. Πx ∈ residues-mod(n). (ax mod n) = Πx ∈ residues-mod(n). x ∈ ℤ
6. u : {x:ℤ| CoPrime(n,x)} 
7. v : {x:ℤ| CoPrime(n,x)}  List
8. M : ℤ
⊢ accumulate (with value c and list item x):
   x * c
  over list:
    v
  with starting value:
   (au mod n) * M) ≡ (accumulate (with value c and list item x):
                       x * c
                      over list:
                        v
                      with starting value:
                       u * M)
* a) mod n
BY
{ Subst ⌜accumulate (with value c and list item x): x * cover list:  vwith starting value: u * M) * a 
         ~ accumulate (with value c and list item x):
            x * c
           over list:
             v
           with starting value:
            (u * M) * a)⌝ 0⋅ }

1
.....equality..... 
1. n : {2...}
2. a : ℕ+
3. CoPrime(n,a)
4. Πx ∈ map(λi.(ai mod n);residues-mod(n)). x = Πx ∈ residues-mod(n). x ∈ ℤ
5. Πx ∈ residues-mod(n). (ax mod n) = Πx ∈ residues-mod(n). x ∈ ℤ
6. u : {x:ℤ| CoPrime(n,x)} 
7. v : {x:ℤ| CoPrime(n,x)}  List
8. M : ℤ
⊢ accumulate (with value c and list item x): x * cover list:  vwith starting value: u * M) * a 
~ accumulate (with value c and list item x):
   x * c
  over list:
    v
  with starting value:
   (u * M) * a)

2
1. n : {2...}
2. a : ℕ+
3. CoPrime(n,a)
4. Πx ∈ map(λi.(ai mod n);residues-mod(n)). x = Πx ∈ residues-mod(n). x ∈ ℤ
5. Πx ∈ residues-mod(n). (ax mod n) = Πx ∈ residues-mod(n). x ∈ ℤ
6. u : {x:ℤ| CoPrime(n,x)} 
7. v : {x:ℤ| CoPrime(n,x)}  List
8. M : ℤ
⊢ accumulate (with value c and list item x):
   x * c
  over list:
    v
  with starting value:
   (au mod n) * M) ≡ accumulate (with value c and list item x):
                      x * c
                     over list:
                       v
                     with starting value:
                      (u * M) * a) mod n

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  n  :  \{2...\}
2.  a  :  \mBbbN{}\msupplus{}
3.  CoPrime(n,a)
4.  \mPi{}x  \mmember{}  map(\mlambda{}i.(ai  mod  n);residues-mod(n)).  x  =  \mPi{}x  \mmember{}  residues-mod(n).  x
5.  \mPi{}x  \mmember{}  residues-mod(n).  (ax  mod  n)  =  \mPi{}x  \mmember{}  residues-mod(n).  x
6.  u  :  \{x:\mBbbZ{}|  CoPrime(n,x)\} 
7.  v  :  \{x:\mBbbZ{}|  CoPrime(n,x)\}    List
8.  M  :  \mBbbZ{}
\mvdash{}  accumulate  (with  value  c  and  list  item  x):
      x  *  c
    over  list:
        v
    with  starting  value:
      (au  mod  n)  *  M)  \mequiv{}  (accumulate  (with  value  c  and  list  item  x):
                                              x  *  c
                                            over  list:
                                                v
                                            with  starting  value:
                                              u  *  M)
*  a)  mod  n


By

---

Latex:
Subst  \mkleeneopen{}accumulate  (with  value  c  and  list  item  x):  x  *  cover  list:    vwith  starting  value:  u  *  M)  *  a 
              \msim{}  accumulate  (with  value  c  and  list  item  x):
                    x  *  c
                  over  list:
                      v
                  with  starting  value:
                    (u  *  M)  *  a)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}

---

Home Index