---

Step * 2 2 1 1 2 1 of Lemma four-squares


1. p : Prime
2. ¬(p = 2 ∈ ℤ)
3. ↑isOdd(p)
4. k : ℤ
5. p = ((2 * k) + 1) ∈ ℤ
6. a1 : ℕk + 1
7. a2 : ℕk + 1
8. ((-((a1 * a1) + 1)) mod p) = ((-((a2 * a2) + 1)) mod p) ∈ ℕp
⊢ a1 = a2 ∈ ℕk + 1
BY
{ ((Assert ((-((a1 * a1) + 1)) mod p) ≡ (-((a1 * a1) + 1)) mod p BY
          Auto)
   THEN (Assert ((-((a2 * a2) + 1)) mod p) ≡ (-((a2 * a2) + 1)) mod p BY
               Auto)
   THEN (Assert (-((a2 * a2) + 1)) ≡ (-((a1 * a1) + 1)) mod p BY
               (RelRST THEN Auto))
   THEN (Assert ((-((a2 * a2) + 1)) - -((a1 * a1) + 1)) ≡ 0 mod p BY
               ((RWO "-1" 0 THENA Auto) THEN BLemma `eqmod_weakening` THEN Auto))
   THEN (Subst' (-((a2 * a2) + 1)) - -((a1 * a1) + 1) ~ (a1 - a2) * (a1 + a2) -1 THENA Auto)) }

1
1. p : Prime
2. ¬(p = 2 ∈ ℤ)
3. ↑isOdd(p)
4. k : ℤ
5. p = ((2 * k) + 1) ∈ ℤ
6. a1 : ℕk + 1
7. a2 : ℕk + 1
8. ((-((a1 * a1) + 1)) mod p) = ((-((a2 * a2) + 1)) mod p) ∈ ℕp
9. ((-((a1 * a1) + 1)) mod p) ≡ (-((a1 * a1) + 1)) mod p
10. ((-((a2 * a2) + 1)) mod p) ≡ (-((a2 * a2) + 1)) mod p
11. (-((a2 * a2) + 1)) ≡ (-((a1 * a1) + 1)) mod p
12. ((a1 - a2) * (a1 + a2)) ≡ 0 mod p
⊢ a1 = a2 ∈ ℕk + 1

---

Latex:

---

Latex:

1.  p  :  Prime
2.  \mneg{}(p  =  2)
3.  \muparrow{}isOdd(p)
4.  k  :  \mBbbZ{}
5.  p  =  ((2  *  k)  +  1)
6.  a1  :  \mBbbN{}k  +  1
7.  a2  :  \mBbbN{}k  +  1
8.  ((-((a1  *  a1)  +  1))  mod  p)  =  ((-((a2  *  a2)  +  1))  mod  p)
\mvdash{}  a1  =  a2


By

---

Latex:
((Assert  ((-((a1  *  a1)  +  1))  mod  p)  \mequiv{}  (-((a1  *  a1)  +  1))  mod  p  BY
                Auto)
  THEN  (Assert  ((-((a2  *  a2)  +  1))  mod  p)  \mequiv{}  (-((a2  *  a2)  +  1))  mod  p  BY
                          Auto)
  THEN  (Assert  (-((a2  *  a2)  +  1))  \mequiv{}  (-((a1  *  a1)  +  1))  mod  p  BY
                          (RelRST  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  ((-((a2  *  a2)  +  1))  -  -((a1  *  a1)  +  1))  \mequiv{}  0  mod  p  BY
                          ((RWO  "-1"  0  THENA  Auto)  THEN  BLemma  `eqmod\_weakening`  THEN  Auto))
  THEN  (Subst'  (-((a2  *  a2)  +  1))  -  -((a1  *  a1)  +  1)  \msim{}  (a1  -  a2)  *  (a1  +  a2)  -1  THENA  Auto))

---

Home Index