---

Step * 1 of Lemma longest-prefix_property


1. [T] : Type
2. u : T
3. v : T List
4. P : (T List) ⟶ 𝔹
⊢ ([] ≤ v
∧ [] < v supposing 0 < ||v||
∧ ((([] = [] ∈ (T List)) ∧ (∀L':T List. (L' < v ⇒ (¬↑(P [u / L'])))))
  ∨ ((↑(P [u])) ∧ (∀L':T List. ([] < L' ⇒ L' < v ⇒ (¬↑(P [u / L'])))))))
⇒ (if null(v) then []
    if P [u] then [u]
    else []
    fi  ≤ [u / v]
   ∧ if null(v) then [] if P [u] then [u] else [] fi  < [u / v] supposing 0 < ||v|| + 1
   ∧ (((if null(v) then [] if P [u] then [u] else [] fi  = [] ∈ (T List)) ∧ (∀L':T List. (L' < [u / v] ⇒ (¬↑(P L')))))
     ∨ ((↑(P if null(v) then [] if P [u] then [u] else [] fi ))
       ∧ (∀L':T List. (if null(v) then [] if P [u] then [u] else [] fi  < L' ⇒ L' < [u / v] ⇒ (¬↑(P L')))))))
BY
{ (DVar `v' THEN Reduce 0 THEN Auto) }

1
1. [T] : Type
2. u : T
3. P : (T List) ⟶ 𝔹
4. [] ≤ []
5. [] < [] supposing 0 < 0
6. (([] = [] ∈ (T List)) ∧ (∀L':T List. (L' < [] ⇒ (¬↑(P [u / L'])))))
∨ ((↑(P [u])) ∧ (∀L':T List. ([] < L' ⇒ L' < [] ⇒ (¬↑(P [u / L'])))))
7. [] ≤ [u]
8. 0 < 1
⊢ [] < [u]

2
1. [T] : Type
2. u : T
3. P : (T List) ⟶ 𝔹
4. [] ≤ []
5. [] < [] supposing 0 < 0
6. (([] = [] ∈ (T List)) ∧ (∀L':T List. (L' < [] ⇒ (¬↑(P [u / L'])))))
∨ ((↑(P [u])) ∧ (∀L':T List. ([] < L' ⇒ L' < [] ⇒ (¬↑(P [u / L'])))))
7. [] ≤ [u]
8. [] < [u] supposing 0 < 1
⊢ (([] = [] ∈ (T List)) ∧ (∀L':T List. (L' < [u] ⇒ (¬↑(P L')))))
∨ ((↑(P [])) ∧ (∀L':T List. ([] < L' ⇒ L' < [u] ⇒ (¬↑(P L')))))

3
1. [T] : Type
2. u : T
3. u1 : T
4. v : T List
5. P : (T List) ⟶ 𝔹
6. [] ≤ [u1 / v]
7. [] < [u1 / v] supposing 0 < ||v|| + 1
8. (([] = [] ∈ (T List)) ∧ (∀L':T List. (L' < [u1 / v] ⇒ (¬↑(P [u / L'])))))
∨ ((↑(P [u])) ∧ (∀L':T List. ([] < L' ⇒ L' < [u1 / v] ⇒ (¬↑(P [u / L'])))))
⊢ if P [u] then [u] else [] fi  ≤ [u; [u1 / v]]

4
1. [T] : Type
2. u : T
3. u1 : T
4. v : T List
5. P : (T List) ⟶ 𝔹
6. [] ≤ [u1 / v]
7. [] < [u1 / v] supposing 0 < ||v|| + 1
8. (([] = [] ∈ (T List)) ∧ (∀L':T List. (L' < [u1 / v] ⇒ (¬↑(P [u / L'])))))
∨ ((↑(P [u])) ∧ (∀L':T List. ([] < L' ⇒ L' < [u1 / v] ⇒ (¬↑(P [u / L'])))))
9. if P [u] then [u] else [] fi  ≤ [u; [u1 / v]]
10. 0 < (||v|| + 1) + 1
⊢ if P [u] then [u] else [] fi  < [u; [u1 / v]]

5
1. [T] : Type
2. u : T
3. u1 : T
4. v : T List
5. P : (T List) ⟶ 𝔹
6. [] ≤ [u1 / v]
7. [] < [u1 / v] supposing 0 < ||v|| + 1
8. (([] = [] ∈ (T List)) ∧ (∀L':T List. (L' < [u1 / v] ⇒ (¬↑(P [u / L'])))))
∨ ((↑(P [u])) ∧ (∀L':T List. ([] < L' ⇒ L' < [u1 / v] ⇒ (¬↑(P [u / L'])))))
9. if P [u] then [u] else [] fi  ≤ [u; [u1 / v]]
10. if P [u] then [u] else [] fi  < [u; [u1 / v]] supposing 0 < (||v|| + 1) + 1
⊢ ((if P [u] then [u] else [] fi  = [] ∈ (T List)) ∧ (∀L':T List. (L' < [u; [u1 / v]] ⇒ (¬↑(P L')))))
∨ ((↑(P if P [u] then [u] else [] fi ))
  ∧ (∀L':T List. (if P [u] then [u] else [] fi  < L' ⇒ L' < [u; [u1 / v]] ⇒ (¬↑(P L')))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  u  :  T
3.  v  :  T  List
4.  P  :  (T  List)  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
\mvdash{}  ([]  \mleq{}  v
\mwedge{}  []  <  v  supposing  0  <  ||v||
\mwedge{}  ((([]  =  [])  \mwedge{}  (\mforall{}L':T  List.  (L'  <  v  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}\muparrow{}(P  [u  /  L'])))))
    \mvee{}  ((\muparrow{}(P  [u]))  \mwedge{}  (\mforall{}L':T  List.  ([]  <  L'  {}\mRightarrow{}  L'  <  v  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}\muparrow{}(P  [u  /  L'])))))))
{}\mRightarrow{}  (if  null(v)  then  []
        if  P  [u]  then  [u]
        else  []
        fi    \mleq{}  [u  /  v]
      \mwedge{}  if  null(v)  then  []  if  P  [u]  then  [u]  else  []  fi    <  [u  /  v]  supposing  0  <  ||v||  +  1
      \mwedge{}  (((if  null(v)  then  []  if  P  [u]  then  [u]  else  []  fi    =  [])
          \mwedge{}  (\mforall{}L':T  List.  (L'  <  [u  /  v]  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}\muparrow{}(P  L')))))
          \mvee{}  ((\muparrow{}(P  if  null(v)  then  []  if  P  [u]  then  [u]  else  []  fi  ))
              \mwedge{}  (\mforall{}L':T  List
                        (if  null(v)  then  []
                          if  P  [u]  then  [u]
                          else  []
                          fi    <  L'
                        {}\mRightarrow{}  L'  <  [u  /  v]
                        {}\mRightarrow{}  (\mneg{}\muparrow{}(P  L')))))))


By

---

Latex:
(DVar  `v'  THEN  Reduce  0  THEN  Auto)

---

Home Index