---

Step * 2 of Lemma power-sum-product

.....upcase..... 
1. x : ℤ
2. n : ℤ
3. 0 < n
4. ∀[a:ℕ(n - 1) + 1 ⟶ ℤ]. ∀[m:ℕ]. ∀[b:ℕm + 1 ⟶ ℤ].
     ((Σ(a[i] * x^i | i < (n - 1) + 1) * Σ(b[i] * x^i | i < m + 1))
     = Σ(Σ(if j ≤z n - 1 then a[j] else 0 fi  * if i - j ≤z m then b[i - j] else 0 fi  | j < i + 1) * x^i | i < ((n - 1)
       + m)
       + 1)
     ∈ ℤ)
⊢ ∀[a:ℕn + 1 ⟶ ℤ]. ∀[m:ℕ]. ∀[b:ℕm + 1 ⟶ ℤ].
    ((Σ(a[i] * x^i | i < n + 1) * Σ(b[i] * x^i | i < m + 1))
    = Σ(Σ(if j ≤z n then a[j] else 0 fi  * if i - j ≤z m then b[i - j] else 0 fi  | j < i + 1) * x^i | i < (n + m) + 1)
    ∈ ℤ)
BY
{ RepeatFor 3 (ParallelLast) }

1
1. x : ℤ
2. n : ℤ
3. 0 < n
4. a : ℕn + 1 ⟶ ℤ
5. m : ℕ
6. b : ℕm + 1 ⟶ ℤ
7. (Σ(a[i] * x^i | i < (n - 1) + 1) * Σ(b[i] * x^i | i < m + 1))
= Σ(Σ(if j ≤z n - 1 then a[j] else 0 fi  * if i - j ≤z m then b[i - j] else 0 fi  | j < i + 1) * x^i | i < ((n - 1) + m)
  + 1)
∈ ℤ
⊢ (Σ(a[i] * x^i | i < n + 1) * Σ(b[i] * x^i | i < m + 1))
= Σ(Σ(if j ≤z n then a[j] else 0 fi  * if i - j ≤z m then b[i - j] else 0 fi  | j < i + 1) * x^i | i < (n + m) + 1)
∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:
.....upcase..... 
1.  x  :  \mBbbZ{}
2.  n  :  \mBbbZ{}
3.  0  <  n
4.  \mforall{}[a:\mBbbN{}(n  -  1)  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}].  \mforall{}[m:\mBbbN{}].  \mforall{}[b:\mBbbN{}m  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}].
          ((\mSigma{}(a[i]  *  x\^{}i  |  i  <  (n  -  1)  +  1)  *  \mSigma{}(b[i]  *  x\^{}i  |  i  <  m  +  1))
          =  \mSigma{}(\mSigma{}(if  j  \mleq{}z  n  -  1  then  a[j]  else  0  fi    *  if  i  -  j  \mleq{}z  m  then  b[i  -  j]  else  0  fi    |  j  <  i  +  1)
              *  x\^{}i  |  i  <  ((n  -  1)  +  m)  +  1))
\mvdash{}  \mforall{}[a:\mBbbN{}n  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}].  \mforall{}[m:\mBbbN{}].  \mforall{}[b:\mBbbN{}m  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}].
        ((\mSigma{}(a[i]  *  x\^{}i  |  i  <  n  +  1)  *  \mSigma{}(b[i]  *  x\^{}i  |  i  <  m  +  1))
        =  \mSigma{}(\mSigma{}(if  j  \mleq{}z  n  then  a[j]  else  0  fi    *  if  i  -  j  \mleq{}z  m  then  b[i  -  j]  else  0  fi    |  j  <  i  +  1)
            *  x\^{}i  |  i  <  (n  +  m)  +  1))


By

---

Latex:
RepeatFor  3  (ParallelLast)

---

Home Index