---

Step * of Lemma power-sum-product

No Annotations
∀[x:ℤ]. ∀[n:ℕ]. ∀[a:ℕn + 1 ⟶ ℤ]. ∀[m:ℕ]. ∀[b:ℕm + 1 ⟶ ℤ].
  ((Σi<n + 1.a[i]*x^i * Σi<m + 1.b[i]*x^i)
  = Σi<(n + m) + 1.Σ(if j ≤z n then a[j] else 0 fi  * if i - j ≤z m then b[i - j] else 0 fi  | j < i + 1)*x^i
  ∈ ℤ)
BY
{ TACTIC:(Unfold `power-sum` 0 THEN InductionOnNat) }

1
.....basecase..... 
1. x : ℤ
2. n : ℤ
⊢ ∀[a:ℕ0 + 1 ⟶ ℤ]. ∀[m:ℕ]. ∀[b:ℕm + 1 ⟶ ℤ].
    ((Σ(a[i] * x^i | i < 0 + 1) * Σ(b[i] * x^i | i < m + 1))
    = Σ(Σ(if j ≤z 0 then a[j] else 0 fi  * if i - j ≤z m then b[i - j] else 0 fi  | j < i + 1) * x^i | i < (0 + m) + 1)
    ∈ ℤ)

2
.....upcase..... 
1. x : ℤ
2. n : ℤ
3. 0 < n
4. ∀[a:ℕ(n - 1) + 1 ⟶ ℤ]. ∀[m:ℕ]. ∀[b:ℕm + 1 ⟶ ℤ].
     ((Σ(a[i] * x^i | i < (n - 1) + 1) * Σ(b[i] * x^i | i < m + 1))
     = Σ(Σ(if j ≤z n - 1 then a[j] else 0 fi  * if i - j ≤z m then b[i - j] else 0 fi  | j < i + 1) * x^i | i < ((n - 1)
       + m)
       + 1)
     ∈ ℤ)
⊢ ∀[a:ℕn + 1 ⟶ ℤ]. ∀[m:ℕ]. ∀[b:ℕm + 1 ⟶ ℤ].
    ((Σ(a[i] * x^i | i < n + 1) * Σ(b[i] * x^i | i < m + 1))
    = Σ(Σ(if j ≤z n then a[j] else 0 fi  * if i - j ≤z m then b[i - j] else 0 fi  | j < i + 1) * x^i | i < (n + m) + 1)
    ∈ ℤ)

---

Latex:

---

Latex:
No  Annotations
\mforall{}[x:\mBbbZ{}].  \mforall{}[n:\mBbbN{}].  \mforall{}[a:\mBbbN{}n  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}].  \mforall{}[m:\mBbbN{}].  \mforall{}[b:\mBbbN{}m  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}].
    ((\mSigma{}i<n  +  1.a[i]*x\^{}i  *  \mSigma{}i<m  +  1.b[i]*x\^{}i)
    =  \mSigma{}i<(n  +  m)  +  1.\mSigma{}(if  j  \mleq{}z  n  then  a[j]  else  0  fi    *  if  i  -  j  \mleq{}z  m  then  b[i  -  j]  else  0  fi    |  j  <  i
        +  1)*x\^{}i)


By

---

Latex:
TACTIC:(Unfold  `power-sum`  0  THEN  InductionOnNat)

---

Home Index