---

Step * 1 of Lemma power-sum-product

.....basecase..... 
1. x : ℤ
2. n : ℤ
⊢ ∀[a:ℕ0 + 1 ⟶ ℤ]. ∀[m:ℕ]. ∀[b:ℕm + 1 ⟶ ℤ].
    ((Σ(a[i] * x^i | i < 0 + 1) * Σ(b[i] * x^i | i < m + 1))
    = Σ(Σ(if j ≤z 0 then a[j] else 0 fi  * if i - j ≤z m then b[i - j] else 0 fi  | j < i + 1) * x^i | i < (0 + m) + 1)
    ∈ ℤ)
BY
{ (Auto THEN Subst' Σ(a[i] * x^i | i < 0 + 1) * Σ(b[i] * x^i | i < m + 1) ~ Σ((a[0] * b[i]) * x^i | i < m + 1) 0) }

1
.....equality..... 
1. x : ℤ
2. n : ℤ
3. a : ℕ0 + 1 ⟶ ℤ
4. m : ℕ
5. b : ℕm + 1 ⟶ ℤ
⊢ Σ(a[i] * x^i | i < 0 + 1) * Σ(b[i] * x^i | i < m + 1) ~ Σ((a[0] * b[i]) * x^i | i < m + 1)

2
1. x : ℤ
2. n : ℤ
3. a : ℕ0 + 1 ⟶ ℤ
4. m : ℕ
5. b : ℕm + 1 ⟶ ℤ
⊢ Σ((a[0] * b[i]) * x^i | i < m + 1)
= Σ(Σ(if j ≤z 0 then a[j] else 0 fi  * if i - j ≤z m then b[i - j] else 0 fi  | j < i + 1) * x^i | i < (0 + m) + 1)
∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:
.....basecase..... 
1.  x  :  \mBbbZ{}
2.  n  :  \mBbbZ{}
\mvdash{}  \mforall{}[a:\mBbbN{}0  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}].  \mforall{}[m:\mBbbN{}].  \mforall{}[b:\mBbbN{}m  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}].
        ((\mSigma{}(a[i]  *  x\^{}i  |  i  <  0  +  1)  *  \mSigma{}(b[i]  *  x\^{}i  |  i  <  m  +  1))
        =  \mSigma{}(\mSigma{}(if  j  \mleq{}z  0  then  a[j]  else  0  fi    *  if  i  -  j  \mleq{}z  m  then  b[i  -  j]  else  0  fi    |  j  <  i  +  1)
            *  x\^{}i  |  i  <  (0  +  m)  +  1))


By

---

Latex:
(Auto
  THEN  Subst'  \mSigma{}(a[i]  *  x\^{}i  |  i  <  0  +  1)  *  \mSigma{}(b[i]  *  x\^{}i  |  i  <  m  +  1)  \msim{}  \mSigma{}((a[0]  *  b[i])  *  x\^{}i  |  i  <  m
            +  1)  0
  )

---

Home Index