---

Step * 1 1 of Lemma rel-immediate-rel-plus


1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. f : T ⟶ ℕ
4. ∀x,y:T.  ((R x y) ⇒ f x < f y)
5. ∀x,y:T.  Dec(∃z:T. ((R x z) ∧ (R z y)))
6. n : ℕ
7. ∀n:ℕn. (0 < n ⇒ (∀x,y:T.  ((R^n x y) ⇒ (∃n:ℕ+. (R!^n x y)))))
8. 0 < n
9. x : T
10. y : T
11. ∃z:T. ((x R z) ∧ (z R^n - 1 y))
12. n = 1 ∈ ℤ
⊢ ∃n:ℕ+. (R!^n x y)
BY
{ xxx(HypSubst' -1 -2
      THEN (Reduce (-2))
      THEN ThinVar `n'
      THEN (RecUnfold `rel_exp` (-1))
      THEN (Reduce (-1))
      THEN ExRepD
      THEN (HypSubst' -1 -2 THENA Auto)
      THEN (Thin (-1))
      THEN (Thin (-2)))xxx }

1
1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. f : T ⟶ ℕ
4. ∀x,y:T.  ((R x y) ⇒ f x < f y)
5. ∀x,y:T.  Dec(∃z:T. ((R x z) ∧ (R z y)))
6. x : T
7. y : T
8. x R y
⊢ ∃n:ℕ+. (R!^n x y)

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  [R]  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
4.  \mforall{}x,y:T.    ((R  x  y)  {}\mRightarrow{}  f  x  <  f  y)
5.  \mforall{}x,y:T.    Dec(\mexists{}z:T.  ((R  x  z)  \mwedge{}  (R  z  y)))
6.  n  :  \mBbbN{}
7.  \mforall{}n:\mBbbN{}n.  (0  <  n  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x,y:T.    ((rel\_exp(T;  R;  n)  x  y)  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (rel\_exp(T;  R!;  n)  x  y)))))
8.  0  <  n
9.  x  :  T
10.  y  :  T
11.  \mexists{}z:T.  ((x  R  z)  \mwedge{}  (z  rel\_exp(T;  R;  n  -  1)  y))
12.  n  =  1
\mvdash{}  \mexists{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (rel\_exp(T;  R!;  n)  x  y)


By

---

Latex:
xxx(HypSubst'  -1  -2
        THEN  (Reduce  (-2))
        THEN  ThinVar  `n'
        THEN  (RecUnfold  `rel\_exp`  (-1))
        THEN  (Reduce  (-1))
        THEN  ExRepD
        THEN  (HypSubst'  -1  -2  THENA  Auto)
        THEN  (Thin  (-1))
        THEN  (Thin  (-2)))xxx

---

Home Index