---

Step * 1 of Lemma rel-immediate-rel-plus

.....assertion..... 
1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. f : T ⟶ ℕ
4. ∀x,y:T.  ((R x y) ⇒ f x < f y)
5. ∀x,y:T.  Dec(∃z:T. ((R x z) ∧ (R z y)))
⊢ ∀n:ℕ. (0 < n ⇒ (∀x,y:T.  ((R^n x y) ⇒ (∃n:ℕ+. (R!^n x y)))))
BY
{ xxx(CompleteInductionOnNat
      THEN Auto
      THEN (RecUnfold `rel_exp` (-1))
      THEN (SplitOnHypITE -1  THENA Auto)
      THEN Try (Complete (Auto'))
      THEN (Thin (-1))
      THEN (Reduce (-1))
      THEN CaseNat 1 `n')xxx }

1
1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. f : T ⟶ ℕ
4. ∀x,y:T.  ((R x y) ⇒ f x < f y)
5. ∀x,y:T.  Dec(∃z:T. ((R x z) ∧ (R z y)))
6. n : ℕ
7. ∀n:ℕn. (0 < n ⇒ (∀x,y:T.  ((R^n x y) ⇒ (∃n:ℕ+. (R!^n x y)))))
8. 0 < n
9. x : T
10. y : T
11. ∃z:T. ((x R z) ∧ (z R^n - 1 y))
12. n = 1 ∈ ℤ
⊢ ∃n:ℕ+. (R!^n x y)

2
1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. f : T ⟶ ℕ
4. ∀x,y:T.  ((R x y) ⇒ f x < f y)
5. ∀x,y:T.  Dec(∃z:T. ((R x z) ∧ (R z y)))
6. n : ℕ
7. ∀n:ℕn. (0 < n ⇒ (∀x,y:T.  ((R^n x y) ⇒ (∃n:ℕ+. (R!^n x y)))))
8. 0 < n
9. x : T
10. y : T
11. ∃z:T. ((x R z) ∧ (z R^n - 1 y))
12. ¬(n = 1 ∈ ℤ)
⊢ ∃n:ℕ+. (R!^n x y)

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  [T]  :  Type
2.  [R]  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
4.  \mforall{}x,y:T.    ((R  x  y)  {}\mRightarrow{}  f  x  <  f  y)
5.  \mforall{}x,y:T.    Dec(\mexists{}z:T.  ((R  x  z)  \mwedge{}  (R  z  y)))
\mvdash{}  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (0  <  n  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x,y:T.    ((rel\_exp(T;  R;  n)  x  y)  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (rel\_exp(T;  R!;  n)  x  y)))))


By

---

Latex:
xxx(CompleteInductionOnNat
        THEN  Auto
        THEN  (RecUnfold  `rel\_exp`  (-1))
        THEN  (SplitOnHypITE  -1    THENA  Auto)
        THEN  Try  (Complete  (Auto'))
        THEN  (Thin  (-1))
        THEN  (Reduce  (-1))
        THEN  CaseNat  1  `n')xxx

---

Home Index