---

Step * 1 2 of Lemma rel-immediate-rel-plus


1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. f : T ⟶ ℕ
4. ∀x,y:T.  ((R x y) ⇒ f x < f y)
5. ∀x,y:T.  Dec(∃z:T. ((R x z) ∧ (R z y)))
6. n : ℕ
7. ∀n:ℕn. (0 < n ⇒ (∀x,y:T.  ((R^n x y) ⇒ (∃n:ℕ+. (R!^n x y)))))
8. 0 < n
9. x : T
10. y : T
11. ∃z:T. ((x R z) ∧ (z R^n - 1 y))
12. ¬(n = 1 ∈ ℤ)
⊢ ∃n:ℕ+. (R!^n x y)
BY
{ xxx(ExRepD
      THEN ((InstHyp [⌜1⌝; ⌜x⌝; ⌜z⌝] 7)⋅
            THENA (Auto' THEN RepeatFor 2 ((RecUnfold `rel_exp` 0 THEN Reduce 0)) THEN (InstConcl [⌜z⌝])⋅ THEN Auto)
            )
      THEN ((InstHyp [⌜n - 1⌝; ⌜z⌝; ⌜y⌝] 7)⋅ THENA Auto'))xxx }

1
1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. f : T ⟶ ℕ
4. ∀x,y:T.  ((R x y) ⇒ f x < f y)
5. ∀x,y:T.  Dec(∃z:T. ((R x z) ∧ (R z y)))
6. n : ℕ
7. ∀n:ℕn. (0 < n ⇒ (∀x,y:T.  ((R^n x y) ⇒ (∃n:ℕ+. (R!^n x y)))))
8. 0 < n
9. x : T
10. y : T
11. z : T
12. x R z
13. z R^n - 1 y
14. ¬(n = 1 ∈ ℤ)
15. ∃n:ℕ+. (R!^n x z)
16. ∃n:ℕ+. (R!^n z y)
⊢ ∃n:ℕ+. (R!^n x y)

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  [R]  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
4.  \mforall{}x,y:T.    ((R  x  y)  {}\mRightarrow{}  f  x  <  f  y)
5.  \mforall{}x,y:T.    Dec(\mexists{}z:T.  ((R  x  z)  \mwedge{}  (R  z  y)))
6.  n  :  \mBbbN{}
7.  \mforall{}n:\mBbbN{}n.  (0  <  n  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x,y:T.    ((rel\_exp(T;  R;  n)  x  y)  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (rel\_exp(T;  R!;  n)  x  y)))))
8.  0  <  n
9.  x  :  T
10.  y  :  T
11.  \mexists{}z:T.  ((x  R  z)  \mwedge{}  (z  rel\_exp(T;  R;  n  -  1)  y))
12.  \mneg{}(n  =  1)
\mvdash{}  \mexists{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (rel\_exp(T;  R!;  n)  x  y)


By

---

Latex:
xxx(ExRepD
        THEN  ((InstHyp  [\mkleeneopen{}1\mkleeneclose{};  \mkleeneopen{}x\mkleeneclose{};  \mkleeneopen{}z\mkleeneclose{}]  7)\mcdot{}
                    THENA  (Auto'
                                  THEN  RepeatFor  2  ((RecUnfold  `rel\_exp`  0  THEN  Reduce  0))
                                  THEN  (InstConcl  [\mkleeneopen{}z\mkleeneclose{}])\mcdot{}
                                  THEN  Auto)
                    )
        THEN  ((InstHyp  [\mkleeneopen{}n  -  1\mkleeneclose{};  \mkleeneopen{}z\mkleeneclose{};  \mkleeneopen{}y\mkleeneclose{}]  7)\mcdot{}  THENA  Auto'))xxx

---

Home Index