---

Step * of Lemma wellfounded-minimal

∀[T:Type]. ∀[R:T ⟶ T ⟶ ℙ]. ∀[P:T ⟶ ℙ].
  ((∀x,y:T.  Dec(R x y))
  ⇒ (∀x:T. Dec(P x))
  ⇒ (∀y:T. ∃L:T List. ∀x:T. ((R x y) ⇒ (x ∈ L)))
  ⇒ WellFnd{i}(T;x,y.R x y)
  ⇒ (∀z:T. ((P z) ⇒ (∃y:T. ((P y) ∧ ((R^*) y z) ∧ (∀x:T. ((R+ x y) ⇒ (¬(P x)))))))))
BY
{ (RepeatFor 7 ((D 0 THENA Auto))
   THEN ((InstLemma `decidable__wellfound-bounded-exists` [⌜T⌝; ⌜R⌝; ⌜P⌝])⋅ THENA Auto)
   THEN (Assert ∀z:T
                  ((∃x:T. (((R^*) x z) ∧ (P x))) ⇒ (∃y:T. ((P y) ∧ ((R^*) y z) ∧ (∀x:T. ((R+ x y) ⇒ (¬(P x))))))) BY
               (BackThruSomeHyp' THEN Auto THEN RenameTo `z' `j'))) }

1
1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. [P] : T ⟶ ℙ
4. ∀x,y:T.  Dec(R x y)
5. ∀x:T. Dec(P x)
6. ∀y:T. ∃L:T List. ∀x:T. ((R x y) ⇒ (x ∈ L))
7. ∀[P:T ⟶ ℙ]. ((∀j:T. ((∀k:T. ((R k j) ⇒ P[k])) ⇒ P[j])) ⇒ {∀n:T. P[n]})
8. ∀y:T. Dec(∃x:T. ((R+ x y) ∧ P[x]))
9. z : T
10. ∀k:T. ((R k z) ⇒ (∃x:T. (((R^*) x k) ∧ (P x))) ⇒ (∃y:T. ((P y) ∧ ((R^*) y k) ∧ (∀x:T. ((R+ x y) ⇒ (¬(P x)))))))
11. ∃x:T. (((R^*) x z) ∧ (P x))
⊢ ∃y:T. ((P y) ∧ ((R^*) y z) ∧ (∀x:T. ((R+ x y) ⇒ (¬(P x)))))

2
1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. [P] : T ⟶ ℙ
4. ∀x,y:T.  Dec(R x y)
5. ∀x:T. Dec(P x)
6. ∀y:T. ∃L:T List. ∀x:T. ((R x y) ⇒ (x ∈ L))
7. WellFnd{i}(T;x,y.R x y)
8. ∀y:T. Dec(∃x:T. ((R+ x y) ∧ P[x]))
9. ∀z:T. ((∃x:T. (((R^*) x z) ∧ (P x))) ⇒ (∃y:T. ((P y) ∧ ((R^*) y z) ∧ (∀x:T. ((R+ x y) ⇒ (¬(P x)))))))
⊢ ∀z:T. ((P z) ⇒ (∃y:T. ((P y) ∧ ((R^*) y z) ∧ (∀x:T. ((R+ x y) ⇒ (¬(P x)))))))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[T:Type].  \mforall{}[R:T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].  \mforall{}[P:T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].
    ((\mforall{}x,y:T.    Dec(R  x  y))
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x:T.  Dec(P  x))
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}y:T.  \mexists{}L:T  List.  \mforall{}x:T.  ((R  x  y)  {}\mRightarrow{}  (x  \mmember{}  L)))
    {}\mRightarrow{}  WellFnd\{i\}(T;x,y.R  x  y)
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}z:T.  ((P  z)  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}y:T.  ((P  y)  \mwedge{}  (rel\_star(T;  R)  y  z)  \mwedge{}  (\mforall{}x:T.  ((R\msupplus{}  x  y)  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(P  x)))))))))


By

---

Latex:
(RepeatFor  7  ((D  0  THENA  Auto))
  THEN  ((InstLemma  `decidable\_\_wellfound-bounded-exists`  [\mkleeneopen{}T\mkleeneclose{};  \mkleeneopen{}R\mkleeneclose{};  \mkleeneopen{}P\mkleeneclose{}])\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  \mforall{}z:T
                                ((\mexists{}x:T.  ((rel\_star(T;  R)  x  z)  \mwedge{}  (P  x)))
                                {}\mRightarrow{}  (\mexists{}y:T.  ((P  y)  \mwedge{}  (rel\_star(T;  R)  y  z)  \mwedge{}  (\mforall{}x:T.  ((R\msupplus{}  x  y)  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(P  x)))))))  BY
                          (BackThruSomeHyp'  THEN  Auto  THEN  RenameTo  `z'  `j')))

---

Home Index