---

Step * 1 of Lemma wellfounded-minimal


1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. [P] : T ⟶ ℙ
4. ∀x,y:T.  Dec(R x y)
5. ∀x:T. Dec(P x)
6. ∀y:T. ∃L:T List. ∀x:T. ((R x y) ⇒ (x ∈ L))
7. ∀[P:T ⟶ ℙ]. ((∀j:T. ((∀k:T. ((R k j) ⇒ P[k])) ⇒ P[j])) ⇒ {∀n:T. P[n]})
8. ∀y:T. Dec(∃x:T. ((R+ x y) ∧ P[x]))
9. z : T
10. ∀k:T. ((R k z) ⇒ (∃x:T. (((R^*) x k) ∧ (P x))) ⇒ (∃y:T. ((P y) ∧ ((R^*) y k) ∧ (∀x:T. ((R+ x y) ⇒ (¬(P x)))))))
11. ∃x:T. (((R^*) x z) ∧ (P x))
⊢ ∃y:T. ((P y) ∧ ((R^*) y z) ∧ (∀x:T. ((R+ x y) ⇒ (¬(P x)))))
BY
{ (Decide ∃x:T. ((R+ x z) ∧ P[x]) THENA Auto) }

1
1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. [P] : T ⟶ ℙ
4. ∀x,y:T.  Dec(R x y)
5. ∀x:T. Dec(P x)
6. ∀y:T. ∃L:T List. ∀x:T. ((R x y) ⇒ (x ∈ L))
7. ∀[P:T ⟶ ℙ]. ((∀j:T. ((∀k:T. ((R k j) ⇒ P[k])) ⇒ P[j])) ⇒ {∀n:T. P[n]})
8. ∀y:T. Dec(∃x:T. ((R+ x y) ∧ P[x]))
9. z : T
10. ∀k:T. ((R k z) ⇒ (∃x:T. (((R^*) x k) ∧ (P x))) ⇒ (∃y:T. ((P y) ∧ ((R^*) y k) ∧ (∀x:T. ((R+ x y) ⇒ (¬(P x)))))))
11. ∃x:T. (((R^*) x z) ∧ (P x))
12. ∃x:T. ((R+ x z) ∧ P[x])
⊢ ∃y:T. ((P y) ∧ ((R^*) y z) ∧ (∀x:T. ((R+ x y) ⇒ (¬(P x)))))

2
1. [T] : Type
2. [R] : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. [P] : T ⟶ ℙ
4. ∀x,y:T.  Dec(R x y)
5. ∀x:T. Dec(P x)
6. ∀y:T. ∃L:T List. ∀x:T. ((R x y) ⇒ (x ∈ L))
7. ∀[P:T ⟶ ℙ]. ((∀j:T. ((∀k:T. ((R k j) ⇒ P[k])) ⇒ P[j])) ⇒ {∀n:T. P[n]})
8. ∀y:T. Dec(∃x:T. ((R+ x y) ∧ P[x]))
9. z : T
10. ∀k:T. ((R k z) ⇒ (∃x:T. (((R^*) x k) ∧ (P x))) ⇒ (∃y:T. ((P y) ∧ ((R^*) y k) ∧ (∀x:T. ((R+ x y) ⇒ (¬(P x)))))))
11. ∃x:T. (((R^*) x z) ∧ (P x))
12. ¬(∃x:T. ((R+ x z) ∧ P[x]))
⊢ ∃y:T. ((P y) ∧ ((R^*) y z) ∧ (∀x:T. ((R+ x y) ⇒ (¬(P x)))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  [R]  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  [P]  :  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
4.  \mforall{}x,y:T.    Dec(R  x  y)
5.  \mforall{}x:T.  Dec(P  x)
6.  \mforall{}y:T.  \mexists{}L:T  List.  \mforall{}x:T.  ((R  x  y)  {}\mRightarrow{}  (x  \mmember{}  L))
7.  \mforall{}[P:T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].  ((\mforall{}j:T.  ((\mforall{}k:T.  ((R  k  j)  {}\mRightarrow{}  P[k]))  {}\mRightarrow{}  P[j]))  {}\mRightarrow{}  \{\mforall{}n:T.  P[n]\})
8.  \mforall{}y:T.  Dec(\mexists{}x:T.  ((R\msupplus{}  x  y)  \mwedge{}  P[x]))
9.  z  :  T
10.  \mforall{}k:T
            ((R  k  z)
            {}\mRightarrow{}  (\mexists{}x:T.  ((rel\_star(T;  R)  x  k)  \mwedge{}  (P  x)))
            {}\mRightarrow{}  (\mexists{}y:T.  ((P  y)  \mwedge{}  (rel\_star(T;  R)  y  k)  \mwedge{}  (\mforall{}x:T.  ((R\msupplus{}  x  y)  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(P  x)))))))
11.  \mexists{}x:T.  ((rel\_star(T;  R)  x  z)  \mwedge{}  (P  x))
\mvdash{}  \mexists{}y:T.  ((P  y)  \mwedge{}  (rel\_star(T;  R)  y  z)  \mwedge{}  (\mforall{}x:T.  ((R\msupplus{}  x  y)  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(P  x)))))


By

---

Latex:
(Decide  \mexists{}x:T.  ((R\msupplus{}  x  z)  \mwedge{}  P[x])  THENA  Auto)

---

Home Index